Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
4 |
SOAL
Sebuah asuransi memberikan pertanggungan terhadap dua jenis pertanggungan yaitu A dan Jumlah tertanggung pada setiap jenis pertanggungan adalah sama. Besarnya klaim pada setiap jenis pertanggungan memiliki distribusi Pareto. Banyaknya klaim dan besarnya klaim untuk tertanggung pada setiap jenis pertanggungan mempunyai distribusi sebagai berikut:
| Jumlah Klaim |
|
Besarnya Klaim (Paramater Pareto) |
| |
A |
B |
|
|
A |
B |
| 0 |
0.9 |
0.8 |
|
\(\alpha \) |
3 |
3 |
| 1 |
0.1 |
0.2 |
|
\(\theta \) |
50 |
60 |
Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas (independent) pada setiap jenis pertanggungan. Hitunglah kredibiltas Buhlmann untuk pengalaman selama 2 tahun. (Gunakan pembulatan terdekat!).
- 0,01
- 0,02
- 0,03
- 0,04
- 0,05
| Diketahui |
Sebuah asuransi memberikan pertanggungan terhadap dua jenis pertanggungan yaitu A dan Jumlah tertanggung pada setiap jenis pertanggungan adalah sama. Besarnya klaim pada setiap jenis pertanggungan memiliki distribusi Pareto. Banyaknya klaim dan besarnya klaim untuk tertanggung pada setiap jenis pertanggungan mempunyai distribusi sebagai berikut:
| Jumlah Klaim |
|
Besarnya Klaim (Paramater Pareto) |
| |
A |
B |
|
|
A |
B |
| 0 |
0.9 |
0.8 |
|
\(\alpha \) |
3 |
3 |
| 1 |
0.1 |
0.2 |
|
\(\theta \) |
50 |
60 |
Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas (independent) pada setiap jenis pertanggungan |
| Rumus yang digunakan |
- \(Z = \frac{{na}}{{na + v}}\)
- \(\mu = E\left[ {\mu \left( \Theta \right)} \right] = E\left[ {E\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) ekspektasi dari hypothetical mean
- \(a = Var\left[ {\mu \left( \Theta \right)} \right] = Var\left[ {E\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) varians dari hypothetical mean
- \(v = E\left[ {v\left( \Theta \right)} \right] = E\left[ {Var\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\)ekspektasi dari process varians
- Agregat:
\(E\left[ S \right] = E\left[ N \right]E\left[ X \right]\)
\(Var\left[ S \right] = E\left[ N \right]Var\left[ X \right] + Var\left[ N \right]E{\left[ X \right]^2}\)
- Pareto:
\(E\left[ X \right] = \frac{\theta }{{\alpha – 1}}\)
\(Var\left( X \right) = \frac{{2{\theta ^2}}}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}} – {\left( {\frac{\theta }{{\alpha – 1}}} \right)^2}\)
|
| Proses pengerjaan |
Pada tertanggung A
- \(E\left[ N \right] = 0.1\) dan \(Var\left[ N \right] = \left( {0.1} \right)\left( {0.9} \right) = 0.09\)
- \(E\left[ X \right] = \frac{{50}}{{3 – 1}} = 25\) dan \(Var\left( X \right) = \frac{{2\left( {{{50}^2}} \right)}}{{\left( 2 \right)\left( 1 \right)}} – {25^2} = 1875\)
Pada tertanggung B
- \(E\left[ N \right] = 0.2\) dan \(Var\left[ N \right] = \left( {0.2} \right)\left( {0.8} \right) = 0.16\)
- \(E\left[ X \right] = \frac{{60}}{{3 – 1}} = 30\) dan \(Var\left( X \right) = \frac{{2\left( {{{60}^2}} \right)}}{{\left( 2 \right)\left( 1 \right)}} – {30^2} = 2700\)
\({\mu _A} = E\left[ {{S_A}} \right] = \left( {0.1} \right)\left( {25} \right) = 2.5\) dan \({\mu _B} = E\left[ {{S_B}} \right] = \left( {0.2} \right)\left( {30} \right) = 6\)
\(a = \frac{{{{\left( {6 – 2.5} \right)}^2}}}{4} = 3.0625\)
\({v_A} = Var\left( {{S_A}} \right) = 0.1\left( {1875} \right) + 0.9\left( {{{25}^2}} \right) = 243.75\)
\({v_B} = Var\left( {{S_B}} \right) = 0.2\left( {2700} \right) + 0.16\left( {{{30}^2}} \right) = 684\)
\(v = \frac{{243.75 + 684}}{2} = 463.875\)
\(Z = \frac{{\left( 2 \right)\left( {3.0625} \right)}}{{\left( 2 \right)\left( {3.0625} \right) + 463.875}} = 0.013032\) |
| Jawaban |
A. 0,1 |
