Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | November 2015 |
| Nomor Soal | : | 25 |
SOAL
Lagi – lagi di kota yang sama, Ngadirejo, bupati kota tersebut mendapatkan informasi dari asistennya yang merupakan seorang aktuaris, bahwa tiga perusahaan asuransi umum di kota tersebut mempunyai catatan banyak klaim, X sebagai berikut:
| Asuransi | Banyak
Nasabah | X = 0 | X = 1 | X = 2 | X = 3 | X = 4 |
| Berdikari | 3.000 | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 0 | 0 |
| Pelopor | 2.000 | 0 | 1/6 | 2/3 | 1/6 | 0 |
| Quantum | 1.000 | 0 | 0 | 1/6 | 2/3 | 1/6 |
Bupati ingin mengetahui, apabila dipilih secara acak satu nasabah, nasabah tersebut mempunyai satu klaim pada tahun 1. Berapa ekspektasi banyak klaim untuk nasabah tersebut pada tahun berikutnya?
- 2,5
- 1,00
- 2,25
- 1,65
- 1,25
| Diketahui | X : Banyak Klaim
B: Berdikari
P: Pelopor
Q: Quantum | Asuransi | Banyak
Nasabah | X = 0 | X = 1 | X = 2 | X = 3 | X = 4 | | Berdikari | 3.000 | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 0 | 0 | | Pelopor | 2.000 | 0 | 1/6 | 2/3 | 1/6 | 0 | | Quantum | 1.000 | 0 | 0 | 1/6 | 2/3 | 1/6 | |
| Rumus yang digunakan | \(E[{X_2}|1]{\rm{ }} = P[B|N = 1]\mu (1) + P[P|N = 1]\mu (2)\) |
| Proses pengerjaan | \(P(B){\rm{ }} = \frac{{3.000}}{{3.000 + 2.000 + 1.000}} = \frac{1}{2}\)
\(P(P){\rm{ }} = \frac{1}{3}\)
\(P(Q){\rm{ }} = \frac{1}{6}\)
\(P[B|N = 1]{\rm{ }} = \frac{{P(N = 1|B) \cdot P(B)}}{{P(N = 1|B) \cdot P(B){\rm{ }} + P(N = 1|P) \cdot P(P){\rm{ }} + P(N = 1|Q) \cdot P(Q)}}\)
\(P[B|N = 1]{\rm{ }} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot 0}} = \frac{3}{4}\)
\(P[P|N = 1]{\rm{ }} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}}}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot 0}} = \frac{1}{4}\)
\(P[Q|N = 1]{\rm{ }} = \frac{{\frac{1}{6} \cdot 0}}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot 0}} = 0\)
Dengan peluang prio adalah \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\) dan \(\frac{1}{6}\), maka:
\(\mu (1){\rm{ }} = \frac{1}{3}(0){\rm{ }} + \frac{1}{3}(1){\rm{ }} + \frac{1}{3}(2){\rm{ }} = 1\)
\(\mu (2){\rm{ }} = \frac{1}{6}(1){\rm{ }} + \frac{2}{3}(2){\rm{ }} + \frac{1}{6}(3){\rm{ }} = 2\)
\(E[{X_2}|1]{\rm{ }} = P[B|N = 1]\mu (1) + P[P|N = 1]\mu (2)\)
\(E[{X_2}|1]{\rm{ }} = \frac{3}{4}(1){\rm{ }} + \frac{1}{4}(2){\rm{ }} = 1,25\) |
| Jawaban | E. 1,25 |
