Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Diketahui:
- Sampel dari besar kerugian adalah sebagai berikut
600
700 900 - Tidak ada informasi yang tersedia untuk besar kerugian \(\le 500\)
- Besar kerugian diasumsikan berdistribusi eksponensial dengan mean \(\theta \)
Tentukan besar \(\theta \) menggunakan metode Maximum Likelihood (cari angka dengan pembulatan terdekat)
- 233
- 400
- 500
- 733
- 1.233
| Diketahui |
| |||
| Rumus yang digunakan | \({f\left( x \right) = \frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}},}\) \({L\left( \theta \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i};\theta } \right)} ,}\) \({\frac{{d\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right]}}{{d\theta }} = 0}\) | |||
| Proses pengerjaan | Maxmimum Likelihood \(L\left( \theta \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i};\theta } \right)} = \frac{1}{{{\theta ^n}}}\exp \left( {\frac{{ – \sum\nolimits_1^n {{x_i}} }}{\theta }} \right)\) \(\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right] = – n\ln \left( \theta \right) – \frac{1}{{{\theta ^2}}}\sum\nolimits_1^n {{x_i}} \) \(\frac{{d\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right]}}{{d\theta }} = – \frac{n}{\theta } + \frac{1}{{{\theta ^2}}}\sum\nolimits_1^n {{x_i}} = 0\) \(\hat \theta = \frac{{\sum\nolimits_1^n {{x_i}} }}{n} = \bar x\) | |||
| Eksposurenya adalah setiap sampel besar kerugian dikurangi 500, sehingga \(\hat \theta = \frac{{\sum\nolimits_1^n {{x_i}} }}{n} = \frac{{\left( {600 – 500} \right) + \left( {700 – 500} \right) + \left( {900 – 500} \right)}}{3} = 233.3333\) | ||||
| Jawaban | a. 233 |