Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2018 |
| Nomor Soal |
: |
1 |
SOAL
Diketahui:
- Sampel dari besar kerugian adalah sebagai berikut
- Tidak ada informasi yang tersedia untuk besar kerugian \(\le 500\)
- Besar kerugian diasumsikan berdistribusi eksponensial dengan mean \(\theta \)
Tentukan besar \(\theta \) menggunakan metode Maximum Likelihood (cari angka dengan pembulatan terdekat)
- 233
- 400
- 500
- 733
- 1.233
| Diketahui |
- Sampel dari besar kerugian adalah sebagai berikut
- Tidak ada informasi yang tersedia untuk besar kerugian \(\le 500\)
- Besar kerugian diasumsikan berdistribusi eksponensial dengan mean \(\theta \)
|
| Rumus yang digunakan |
\({f\left( x \right) = \frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}},}\) \({L\left( \theta \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i};\theta } \right)} ,}\) \({\frac{{d\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right]}}{{d\theta }} = 0}\) |
| Proses pengerjaan |
Maxmimum Likelihood
\(L\left( \theta \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i};\theta } \right)} = \frac{1}{{{\theta ^n}}}\exp \left( {\frac{{ – \sum\nolimits_1^n {{x_i}} }}{\theta }} \right)\)
\(\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right] = – n\ln \left( \theta \right) – \frac{1}{{{\theta ^2}}}\sum\nolimits_1^n {{x_i}} \)
\(\frac{{d\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right]}}{{d\theta }} = – \frac{n}{\theta } + \frac{1}{{{\theta ^2}}}\sum\nolimits_1^n {{x_i}} = 0\)
\(\hat \theta = \frac{{\sum\nolimits_1^n {{x_i}} }}{n} = \bar x\) |
| Eksposurenya adalah setiap sampel besar kerugian dikurangi 500, sehingga
\(\hat \theta = \frac{{\sum\nolimits_1^n {{x_i}} }}{n} = \frac{{\left( {600 – 500} \right) + \left( {700 – 500} \right) + \left( {900 – 500} \right)}}{3} = 233.3333\) |
| Jawaban |
a. 233 |
