Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 16 - Mei 2018

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	Mei 2018
Nomor Soal	:	16

SOAL

500 buah klaim kerugian asuransi kargo teramati. 5 kerugian yang teramati tersebut sebesar

1.100

3.200

3.300

3.500

3.900

Semua informasi yang diketahui mengenai 495 klaim sisanya ialah bahwa mereka masing-masing lebih dari 4.000. Tentukan parameter mean dari distribusi eksponensial menggunakan metode maximum likelihood estimate

933.000
233.000
333.000
999.000
399.000

Kunci Jawaban & Pembahasan

Rumus	Exponential Distribution \((\theta )\), \(f(x) = \frac{{{e^{ – \frac{x}{\theta }}}}}{\theta }\) \(S(x) = {e^{ – \frac{x}{\theta }}}\)
Step 1	\(L = f(1.100)f(3.200)f(3.300)f(3.500)f(3.900){\left[ {S(4.000)} \right]^{495}}\) \(L = \left( {\frac{{{e^{ – \frac{{1.100}}{\theta }}}}}{\theta }} \right)\left( {\frac{{{e^{ – \frac{{3.200}}{\theta }}}}}{\theta }} \right)\left( {\frac{{{e^{ – \frac{{3.300}}{\theta }}}}}{\theta }} \right)\left( {\frac{{{e^{ – \frac{{3.500}}{\theta }}}}}{\theta }} \right)\left( {\frac{{{e^{ – \frac{{3.900}}{\theta }}}}}{\theta }} \right){\left[ {{e^{ – \frac{{4.000}}{\theta }}}} \right]^{495}}\) \(L = {\theta ^{ – 5}}\left( {{e^{ – \frac{{(1.100 + 3.200 + 3.300 + 3.500 + 3.900)}}{\theta }}}} \right){\left[ {{e^{ – \frac{{4.000}}{\theta }}}} \right]^{495}}\) \(L = {\theta ^{ – 5}}\left( {{e^{ – \frac{{15.000}}{\theta }}}} \right)\left[ {{e^{ – \frac{{1.980.000}}{\theta }}}} \right]\) \(L = {\theta ^{ – 5}}\left( {{e^{ – \frac{{1.995.000}}{\theta }}}} \right)\)
Step 2	\(\frac{{d\ln (L)}}{{d\theta }} = 0\) \(\ln (L) = \ln ({\theta ^{ – 5}}{e^{ – \frac{{1.995.000}}{\theta }}})\) \(\ln (L) = \ln ({\theta ^{ – 5}}) + ln({e^{ – \frac{{1.995.000}}{\theta }}})\) \(\ln (L) = – 5\ln (\theta ) – \frac{{1.995.000}}{\theta }\) \(\frac{{d\ln (L)}}{{d\theta }} = \frac{{ – 5}}{\theta } + \frac{{1.995.000}}{{{\theta ^2}}}\) \(0 = \frac{{ – 5}}{\theta } + \frac{{1.995.000}}{{{\theta ^2}}}\) \(5\theta = 1.995.000\) \(\hat \theta = 399.000\)
Jawaban	e. 399.000

Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 16 – Mei 2018