Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
20 |
SOAL
Sebuah populasi terdiri dari perokok dan tidak perokok. Diberikan informasi sebagai berikut:
- Untuk umur yang sama, force of mortality dari tidak perokok adalah sebesar setengah dari force of mortality perokok
- Untuk tidak perokok, \({l_x} = 75 – x,\) \(0 \le x \le 75\)
- \(\left( {65} \right)\) adalah seorang tidak perokok
- \(\left( {55} \right)\) adalah seorang perokok
- \(\left( {55} \right)\) dan \(\left( {65} \right)\) adalah individu yang saling bebeas (independent lives)
Hitunglah \(e_{65:55}^0\) (gunakan pembulatan terdekat)
- 3,0
- 3,5
- 4,0
- 4,2
- 5,1
| Diketahui |
Sebuah populasi terdiri dari perokok dan tidak perokok. Diberikan informasi sebagai berikut:
- Untuk umur yang sama, force of mortality dari tidak perokok adalah sebesar setengah dari force of mortality perokok
- Untuk tidak perokok, \({l_x} = 75 – x,\) \(0 \le x \le 75\)
- \(\left( {65} \right)\) adalah seorang tidak perokok
- \(\left( {55} \right)\) adalah seorang perokok
- \(\left( {55} \right)\) dan \(\left( {65} \right)\) adalah individu yang saling bebeas (independent lives)
|
| Rumus yang digunakan |
Asumsi Uniform menurut Hukum De Moivre
\({{l_x} = {{\left( {\omega – x} \right)}^\alpha },}\) \({{}_t{p_x} = {{\left( {\frac{{\omega – x – t}}{{\omega – x}}} \right)}^\alpha },}\) \({{\mu _x} = \frac{\alpha }{{\omega – x}}}\)
\(e_{xy}^0 = \int\limits_0^\infty {{}_t{p_{xy}}dt} = \int\limits_0^\infty {{}_t{p_x} \cdot {}_t{p_y}dt} \) |
| Proses pengerjaan |
- Kita tahu bahwa \({l_x} = 75 – x,\) merupakan distribusi uniform sesuai dengan hokum De Moivre maka \(\omega = 75\) sehingga \({}_t{p_x} = \frac{{75 – x – t}}{{75 – x}}\) dan \({\mu _x} = \frac{1}{{75 – x}}\).
- Diketahui force of mortality dari tidak perokok adalah sebesar setengah dari force of mortality perokok maka force of mortality perokok adalah \({\mu _y} = \frac{2}{{75 – x}}\) dengan \(\alpha = 2\) sehingga \({}_t{p_y} = {\left( {\frac{{75 – x – t}}{{75 – x}}} \right)^2}\)
|
|
\(e_{65:55}^0 = \int\limits_0^{10} {{}_{10}{p_{65:55}}dt} = \int\limits_0^{10} {{}_{10}{p_{65}} \cdot {}_{10}{p_{55}}dt} \)
\(e_{65:55}^0 = \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{10 – t}}{{10}}} \right){{\left( {\frac{{20 – t}}{{20}}} \right)}^2}dt} \)
Kita ubah \(10 – t\) menjadi \(20 – t\) untuk mempermudah proses pengerjaan
\(e_{65:55}^0 = \frac{1}{{4,000}}\int\limits_0^{10} {\left( {20 – t + 10 – 20} \right){{\left( {20 – t} \right)}^2}dt} \)
\(= \frac{1}{{4,000}}\left[ {\int\limits_0^{10} {{{\left( {20 – t} \right)}^3}dt} – \int\limits_0^{10} {10{{\left( {20 – t} \right)}^2}dt} } \right]\)
\(= \frac{1}{{4,000}}\left[ {\frac{{{{20}^4} – {{10}^4}}}{4} – \frac{{10\left( {{{20}^3} – {{10}^3}} \right)}}{3}} \right]\)
\(= 3.5417\) |
| Jawaban |
b. 3,5 |
