Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Seorang siswa menghitung nilai \({\ddot a_x}\) dengan \(i = 0,05\). Setelah diperiksa, ternyata seharusnya \({p_{x + 1}}\) lebih besar sebesar 0,05 dari yang digunakan oleh siswa tersebut. Dalam perhitungannya, siswa tersebut menggunakan nilai-nilai berikut :
\({q_x} = 0,1\) \({q_{x + 1}} = 0,2\) \({\ddot a_{x + 1}} = 9\)
Bagaimanakah perubahan nilai \({\ddot a_x}\) jika dihitung dengan \({p_{x + 1}}\) yang benar dibandingkan dengan perhitungan awal ?
- Naik sebesar 0,43
- Naik sebesar 0,57
- Tidak ada perubahan
- Turun sebesar 0,57
- Turun sebesar 0,43
| Diketahui |
|
| Step 1 | \({\ddot a_x} = \sum\limits_{k = 0} {{v^n}{ \cdot _n}{p_x}} \) \(= 1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {\,_2}{p_x} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) \(= 1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {p_x} \cdot {p_{x + 1}} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) |
| Step 2 | Mencari \({\ddot a_x}\,baru = {\ddot a_x}*\) \({\ddot a_x}* = \sum\limits_{k = 0} {{v^n}{ \cdot _n}{p_x}} \) \(= 1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {\,_2}{p_x} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) \(= 1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {p_x} \cdot ({p_{x + 1}}*) \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) \(= 1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {p_x}\left( {{p_{x + 1}} + 0,05} \right) \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) \(= \left[ {1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {p_x} \cdot {p_{x + 1}} \cdot {{\ddot a}_{x + 2}}} \right] + 0,05 \cdot {v^2} \cdot {p_x} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) \(= {\ddot a_x} + 0,05 \cdot {v^2} \cdot {p_x} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) |
| Step 3 | Mencari \({\ddot a_{x + 2}}\) \({\ddot a_{x + 1}} = 1 + v \cdot {p_{x + 1}} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) \(9 = 1 + {\left( {1,05} \right)^{ – 1}}\left( {1 – 0,2} \right) \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) \(\frac{{9 – 1}}{{{{\left( {1,05} \right)}^{ – 1}}\left( {0,8} \right)}} = {\ddot a_{x + 2}}\) \(10,5 = {\ddot a_{x + 2}}\) |
| Step 4 | \({\ddot a_x}* – {\ddot a_x}\) \(\, = \left( {{{\ddot a}_x} + 0,05 \cdot {v^2} \cdot {p_x} \cdot {{\ddot a}_{x + 2}}} \right) – {\ddot a_x}\) \(= 0,05 \cdot {v^2} \cdot {p_x} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) \(= 0,05 \cdot {\left( {1,05} \right)^{ – 2}}\left( {1 – 0,1} \right)\left( {10,5} \right)\) \(= 0,42857 \cong 0,43\) → naik |
| Jawaban | a. Naik sebesar 0,43 |