Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2018 |
| Nomor Soal |
: |
13 |
SOAL
Seorang siswa menghitung nilai \({\ddot a_x}\) dengan \(i = 0,05\). Setelah diperiksa, ternyata seharusnya \({p_{x + 1}}\) lebih besar sebesar 0,05 dari yang digunakan oleh siswa tersebut. Dalam perhitungannya, siswa tersebut menggunakan nilai-nilai berikut :
\({q_x} = 0,1\) \({q_{x + 1}} = 0,2\) \({\ddot a_{x + 1}} = 9\)
Bagaimanakah perubahan nilai \({\ddot a_x}\) jika dihitung dengan \({p_{x + 1}}\) yang benar dibandingkan dengan perhitungan awal ?
- Naik sebesar 0,43
- Naik sebesar 0,57
- Tidak ada perubahan
- Turun sebesar 0,57
- Turun sebesar 0,43
| Diketahui |
- \({q_x} = 0,1\)
- \({q_{x + 1}} = 0,2\)
- \({\ddot a_{x + 1}} = 9\)
- \({p_{x + 1}}* = {p_{x + 1}} + 0,05\)
|
| Step 1 |
\({\ddot a_x} = \sum\limits_{k = 0} {{v^n}{ \cdot _n}{p_x}} \)
\(= 1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {\,_2}{p_x} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\)
\(= 1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {p_x} \cdot {p_{x + 1}} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) |
| Step 2 |
Mencari \({\ddot a_x}\,baru = {\ddot a_x}*\)
\({\ddot a_x}* = \sum\limits_{k = 0} {{v^n}{ \cdot _n}{p_x}} \)
\(= 1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {\,_2}{p_x} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\)
\(= 1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {p_x} \cdot ({p_{x + 1}}*) \cdot {\ddot a_{x + 2}}\)
\(= 1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {p_x}\left( {{p_{x + 1}} + 0,05} \right) \cdot {\ddot a_{x + 2}}\)
\(= \left[ {1 + v \cdot {p_x} + {v^2} \cdot {p_x} \cdot {p_{x + 1}} \cdot {{\ddot a}_{x + 2}}} \right] + 0,05 \cdot {v^2} \cdot {p_x} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\)
\(= {\ddot a_x} + 0,05 \cdot {v^2} \cdot {p_x} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\) |
| Step 3 |
Mencari \({\ddot a_{x + 2}}\)
\({\ddot a_{x + 1}} = 1 + v \cdot {p_{x + 1}} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\)
\(9 = 1 + {\left( {1,05} \right)^{ – 1}}\left( {1 – 0,2} \right) \cdot {\ddot a_{x + 2}}\)
\(\frac{{9 – 1}}{{{{\left( {1,05} \right)}^{ – 1}}\left( {0,8} \right)}} = {\ddot a_{x + 2}}\)
\(10,5 = {\ddot a_{x + 2}}\) |
| Step 4 |
\({\ddot a_x}* – {\ddot a_x}\)
\(\, = \left( {{{\ddot a}_x} + 0,05 \cdot {v^2} \cdot {p_x} \cdot {{\ddot a}_{x + 2}}} \right) – {\ddot a_x}\)
\(= 0,05 \cdot {v^2} \cdot {p_x} \cdot {\ddot a_{x + 2}}\)
\(= 0,05 \cdot {\left( {1,05} \right)^{ – 2}}\left( {1 – 0,1} \right)\left( {10,5} \right)\)
\(= 0,42857 \cong 0,43\) → naik |
| Jawaban |
a. Naik sebesar 0,43 |
