Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
13 |
SOAL
Sebuah anuitas ditunda 10 tahun yang berkelanjutan (10-year deferred fully continuous life annuity) akan membayarkan manfaat sebesar 100 setiap tahun. Jika tertanggung meninggal pada 10 tahun pertama maka premi akan dikembalikan tanpa bunga. Jika diberikan informasi sebagai berikut:
- \(\mu = 0,02\) untuk \(t > 0\)
- \(\delta = 0,06\)
- Premi dibayarkan selama 10 tahun pertama
Hitunglah premi netto (gunakan pembulatan terdekat)
- 81,60
- 83,43
- 86,40
- 89,35
- 91,12
| Diketahui |
Sebuah anuitas ditunda 10 tahun yang berkelanjutan (10-year deferred fully continuous life annuity) akan membayarkan manfaat sebesar 100 setiap tahun. Jika tertanggung meninggal pada 10 tahun pertama maka premi akan dikembalikan tanpa bunga. Jika diberikan informasi sebagai berikut:
- \(\mu = 0,02\) untuk \(t > 0\)
- \(\delta = 0,06\)
- Premi dibayarkan selama 10 tahun pertama
|
| Rumus yang digunakan |
\({{\bar a}_{x:\overline {\left. n \right|} }} = \int\limits_0^n {{v^t}{}_t{p_x}dt} = \int\limits_0^n {{e^{ – \delta t}}{e^{ – \mu t}}dt} \)
\({}_{\left. m \right|}{{\bar a}_x} = \int\limits_m^\infty {{v^t}{}_t{p_x}dt} = \int\limits_m^\infty {{e^{ – \delta t}}{e^{ – \mu t}}dt} \)
\(\left( {\bar I\bar A} \right)_{x:\overline {\left. n \right|} }^1 = \int\limits_0^n {t \cdot {v^t}{}_t{p_x}{\mu _{x + t}}dt} = \int\limits_0^n {t \cdot {e^{ – \delta t}}{e^{ – \mu t}} \cdot \mu dt} \) |
| Proses pengerjaan |
Misalkan \(P\) adalah premi netto
\(P \cdot {\bar a_{x:\overline {\left. {10} \right|} }} = 100{}_{\left. {10} \right|}{\bar a_x} + \left( P \right) \cdot \left( {\bar I\bar A} \right)_{x:\overline {\left. {10} \right|} }^1\) kita hitung secara terpisah |
|
- \({\bar a_{x:\overline {\left. {10} \right|} }} = \int\limits_0^{10} {{e^{ – 0.06t}}{e^{ – 0.02t}}dt} = \frac{{1 – {e^{ – 0.8}}}}{{0.08}} = 6.88339\)
- \({}_{\left. {10} \right|}{\bar a_x} = \int\limits_{10}^\infty {{e^{ – 0.06t}}{e^{ – 0.02t}}dt} = \frac{{{e^{ – 0.8}}}}{{0.08}} = 5.61661\)
- \(\left( {\bar I\bar A} \right)_{x:\overline {\left. {10} \right|} }^1 = \int\limits_0^{10} {0.02t \cdot {e^{ – 0.06t}}{e^{ – 0.02t}}dt} \)
\(\left( {\bar I\bar A} \right)_{x:\overline {\left. {10} \right|} }^1 = 0.02\left[ {\left. { – \frac{{t{e^{ – 0.08t}}}}{{0.08}}} \right|_0^{10} + \frac{1}{{0.08}}\int\limits_0^{10} {{e^{ – 0.08t}}dt} } \right]\)
\(\left( {\bar I\bar A} \right)_{x:\overline {\left. {10} \right|} }^1 = – \frac{{10{e^{ – 0.8}}}}{4} + \frac{{\left( {1 – {e^{ – 0.8}}} \right)}}{{4\left( {0.08} \right)}} = 0.59752\) |
|
\(P \cdot {{\bar a}_{x:\overline {\left. {10} \right|} }} = 100{}_{\left. {10} \right|}{{\bar a}_x} + \left( P \right) \cdot \left( {\bar I\bar A} \right)_{x:\overline {\left. {10} \right|} }^1\)
\(6.88339P = 100\left( {5.61661} \right) + 0.59752P\)
\(P = \frac{{561.661}}{{6.88339 – 0.59752}} = 89.353\) |
| Jawaban |
d. 89,35 |
