A20 - Probabilitas dan StatistikaAktuariaEdukasi

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 25 – Mei 2018

By Agus Sofian Eka Hidayat, S.Pd., M.Ed., M.Sc. On Mar 8, 2019 Last updated Mar 8, 2019

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	Mei 2018
Nomor Soal	:	25

SOAL

Berapa banyak dari pernyataan ini yang benar mengenai penjumlahan dari variabel acak yang saling bebas

Penjumlahan dari variabel acak saling bebas yang berdistribusi Poisson adalah berdistribusi Poisson
Penjumlahan dari variabel acak saling bebas yang berdistribusi exponential adalah berdistribusi exponential
Penjumlahan dari variabel acak saling bebas yang berdistribusi geometric adalah berdistribusi geometric
Penjumlahan dari variabel acak saling bebas yang berdistribusi normal adalah berdistribusi normal

1
2
3
4
0

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	\({X_i}{\rm{, }}i = 1,….,n\) independent
Rumus yang digunakan	\(X \sim Pois(\lambda ),{\rm{ }}f(x) = \frac{{{\lambda ^x}{e^{ – \lambda }}}}{{x!}},{\rm{ }}{\mu _x} = \lambda ,{\sigma ^2}_x = \lambda ,MGF = \exp (\lambda ({e^t} – 1))\) \(X \sim \exp (\lambda ),{\rm{ }}f(x) = 1 – {e^{ – \lambda x}},{\rm{ }}{\mu _x} = \frac{1}{\lambda },{\sigma ^2}_x = \frac{1}{{{\lambda ^2}}},{\rm{ }}MGF = \frac{\lambda }{{\lambda – t}}\) \(X \sim geo(x,p),{\rm{ }}p(x) = {(1 – p)^{x – 1}},{\rm{ }}{\mu _x} = \frac{1}{p},{\sigma ^2}_x = \frac{{1 – p}}{{{p^2}}},MGF = \frac{\lambda }{{\lambda – t}}\) \(X \sim N(\mu ,{\sigma ^2}),{\rm{ }}f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}{e^{ – \frac{{{{(x – \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}},{\rm{ }}{\mu _x} = \mu ,{\sigma ^2}_x = {\sigma ^2},MGF = \exp (\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2})\) Jika X dan Y random variabel yang saliang bebas MGF untuk X + Y adalah, \({M_{X + Y}}(t) = {M_x}(t).{M_y}(t)\)
Proses pengerjaaan	Berdasarkan teorema yang sudah ada, jelas bahwa hanya ada 2 pernyataan yang benar Jika \({X_i} \sim Pois({\lambda _i}),{\rm{ }}i = 1,….,n\) independent dan \(\lambda {\rm{ = }}\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} ,\) maka \(Y = (\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} ) \sim Pois(\lambda ){\rm{ (}}Raikov’s{\rm{ }}theorem)\)akan kita buktikan kebenaran pernyataan (1) menggunakan konsep MGF-nya Diambil \({X_1},{X_2}\)* saling bebas maka MGF untuk \({X_1} + {X_2}\) adalah, \({M_{{X_1},{X_2}}}(t)\) \(= {M_{{X_1}}}(t).{M_{{X_2}}}(t)\) \(= \exp ({\lambda _1}({e^t} – 1)).\exp ({\lambda _2}({e^t} – 1))\) \(= \exp (({\lambda _1} + {\lambda _2})({e^t} – 1)){\rm{ ()}}\) () merupakan MGF untuk distribusi Poisson dengan mean \({\lambda _1} + {\lambda _2}\) dan variasi \({\lambda _1} + {\lambda _2}\) Jika \({X_1} \sim N({\mu _{{x_1}}},{\sigma _{{x_1}}}),{\rm{ dan }}{X_2} \sim N({\mu _{{x_2}}},{\sigma _{{x_2}}})\) independent maka \(({X_1} + {X_2}) \sim N({\mu _{{x_1}}} + {\mu _{{x_2}}},{\sigma _{{x_1}}} + {\sigma _{{x_2}}}){\rm{ (}}Bernstein’s\) \(theorem)\)akan kita buktikan kebenaran pernyataan (2) menggunakan kosep MGF-nya Diambil \({X_1},{X_2}{\rm{ }}\) saling bebas maka MGF untuk \({X_1} + {X_2}{\rm{ }}\) adalah \({M_{{X_1},{X_2}}}(t)\) \(= {M_{{X_1}}}(t).{M_{{X_2}}}(t)\) \(= \exp ({\mu _{{X_1}}}t + \frac{{\sigma _{_{{X_1}}}^2{t^2}}}{2}).\exp ({\mu _{{X_2}}}t + \frac{{\sigma _{_{{X_2}}}^2{t^2}}}{2})\) \(= \exp (({\mu _{{X_1}}} + {\mu _{{X_2}}})t + \frac{{(\sigma _{_{{X_1}}}^2 + \sigma _{_{{X_2}}}^2){t^2}}}{2}){\rm{ ()}}\) (*) merupakan MGF untuk Distribusi Normal dengan mean \({\mu _{{X_1}}} + {\mu _{{X_2}}}{\rm{ }}\) dan variasi \(\sigma _{_{{X_1}}}^2 + \sigma _{_{{X_2}}}^2\).
Jawaban	b. 2

A20 Aktuaria Edukasi PAI Probabilitas dan Statistika Ujian Profesi Aktuaris

Agus Sofian Eka Hidayat, S.Pd., M.Ed., M.Sc. 99 posts 0 comments

Saat ini saya bekerja sebagai dosen di President University pada Program Studi Aktuaria. Saya merupakan lulusan Magister Matematika minat Aktuaria dari Universitas Gadjah Mada. Selain itu saya juga merupakan lulusan dari Monash University untuk program Master of Education.

Prev Post

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 24 – Mei 2018

Next Post

Punya BPJS, Perlukah Asuransi Kesehatan Swasta?

Leave A Reply