Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
16 |
SOAL
Diketahui studi mortalita sebagai berikut:
- 1.000 orang masuk dalam pengamatan tepat pada umur 80
- 40 orang meninggal dunia pada umur 80,30
- 100 orang baru masuk dalam pengamatan pada umur 80,60
- 20 orang meninggal dunia pada umur 80,80
Jika estimasi \({q_{80}}\) dihitung dengan metode exact exposure (asumsi force of mortality adalah konstan) dan actuarial exposure, berapakah selisih absolut dari kedua estimasi tersebut?
- 0,000095
- 0,000107
- 0,000178
- 0,000221
- 0,000674
| Diketahui |
- 1.000 orang masuk dalam pengamatan tepat pada umur 80
- 40 orang meninggal dunia pada umur 80,30
- 100 orang baru masuk dalam pengamatan pada umur 80,60
- 20 orang meninggal dunia pada umur 80,80
|
| Rumus yang digunakan |
Exact exposure
\(\hat q = 1 – \exp \left( { – \frac{{{d_j}}}{{{e_j}}}} \right)\)
Actuarial exposure
\(\hat q = \frac{{{d_j}}}{{{e_j}}}\)
\({y_i}\) = tanggal awal pengamatan – tanggal lahir
\({z_i}\) = tanggal akhir pengamatan – tanggal lahir
\(\theta \) = tanggal meninggal – tanggal lahir
\({\phi _i}\) = tanggal withdraw – tanggal lahir
\({r_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{y_i} \le x}\\ {{y_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {y_i} < x + 1} \end{array}} \right.\)
\({s_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {z_i} < x + 1}\\ {1\_{\rm{jika\_}}{z_i} \ge x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\iota _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} = 0}\\ {{\theta _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\theta _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\kappa _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} = 0}\\ {{\phi _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\phi _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{eksak}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {{\iota _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{aktuaria}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {1 – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\) |
| Proses pengerjaan |
Exact exposure
\(\hat q = 1 – \exp \left( { – \frac{{{d_j}}}{{{e_j}}}} \right)\)
\(= 1 – \exp \left( { – \frac{{60}}{{1000 – 0,7\left( {40} \right) + 0,4\left( {100} \right) + 0,2\left( {20} \right)}}} \right)\)
\(= 0,0577869\) |
|
Actuarial exposure
\(\hat q = \frac{{{d_j}}}{{{e_j}}}\)
\(= \frac{{60}}{{1000 + 0,4\left( {100} \right)}}\)
\(= 0,0576923\) |
|
\(\left| {{{\hat q}_{exact}} – {{\hat q}_{actuarial}}} \right| = \left| {0,0577869 – 0,0576923} \right|\)
\(= 0,0000946\) |
| Jawaban |
a. 0,000095 |
