Pembahasan Ujian PAI: A50 – No. 10 – Juni 2016

• Semua individu yang masuk pengamatan berumur \(x + r,0 \le r < 0,5\)
• Satu individu melakukan withdrawal pada umur \(x + 0,6\)
• Dua individu melakukan withdrawal pada umur \(x + 0,75\)
• Satu individu meninggal pada umur \(x + 0,7\)
• Dua individu tetap hidup mencapai umur \(x + 1\)

Dengan menggunakan metode actuarial estimate diperoleh \({\hat q_x} = \frac{{10}}{{33}}\)

\({r_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{y_i} \le x}\\ {{y_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {y_i} < x + 1} \end{array}} \right.\)

\({s_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {z_i} < x + 1}\\ {1\_{\rm{jika\_}}{z_i} \ge x + 1} \end{array}} \right.\)

\({\iota _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} = 0}\\ {{\theta _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\theta _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)

\({\kappa _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} = 0}\\ {{\phi _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\phi _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)

\({\varepsilon _{aktuaria}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {1 – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\)

Karena hanya terjadi satu kematian pada kolom \({\iota _i}\) maka \({\hat q_x} = \frac{1}{{5,1 – 6r}}\)

\({{\hat q}_x} = \frac{{10}}{{33}}\)
\(\frac{1}{{5,1 – 6r}} = \frac{{10}}{{33}}\)
\(33 = 51 – 60r\)
\(r = \frac{{18}}{{60}}\)
\(= 0,3\)