Pembahasan Ujian PAI: A20 - No. 20 - November 2018

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	November 2018
Nomor Soal	:	20

SOAL

Misal \({X_1},{X_2},{X_3}\) adalah sebuah sampel acak yang saling bebas (mutually independent) dari suatu distribusi diskret dengan fungsi peluang sebagai berikut :

\(p(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3},\,x = 0\\ \frac{2}{3},\,x = 1\\ 0,\,\,\,lainnya \end{array} \right.\)

Tentukanlah fungsi pembangkit momen, M(t) dari \(Y = {X_1},{X_2},{X_3}\)

\(\frac{{19}}{{27}} + \frac{8}{{27}}{e^t}\)
\(1 + 2{e^t}\)
\({\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}{e^t}} \right)^3}\)
\(\frac{1}{{27}} + \frac{8}{{27}}{e^{3t}}\)
\(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}{e^{3t}}\)

Kunci Jawaban & Pembahasan

Step 1	\(Y = {X_1},{X_2},{X_3}\) \(P(Y = 1) = P({X_1},{X_2},{X_3} = 1)\) \(P(Y = 1) = P({X_1} = 1)P({X_2} = 1)P({X_3} = 1)\) \(P(Y = 1) = \frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}\) \(P(Y = 1) = \frac{8}{{27}}\)
Step 2	\(P(Y = 0) = 1 – P(Y = 1)\) \(P(Y = 0) = 1 – \frac{8}{{27}}\) \(P(Y = 0) = \frac{{19}}{{27}}\)
Maka	\(M(t) = E[{e^{tY}}]\) \(M(t) = \sum {{e^{tY}}} P(Y = y)\) \(M(t) = {e^0}\frac{{19}}{{27}} + {e^t}\frac{8}{{27}}\) \(M(t) = \frac{{19}}{{27}} + \frac{8}{{27}}{e^t}\)
Jawaban	a. \(\frac{{19}}{{27}} + \frac{8}{{27}}{e^t}\)

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 20 – November 2018