Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian | : | A20 – Probabilitas dan Statistika |
Periode Ujian | : | November 2017 |
Nomor Soal | : | 18 |
SOAL
Seorang aktuaris menentukan besar klaim untuk kelas kejadian tertentu adalah suatu peubah acak, , dengan fungsi pembangkit momen sebagai berikut :
\({M_x}(t) = \frac{1}{{{{(1 – 2.500t)}^4}}}\)
Tentukan standar deviasi atas besar klaim untuk kelas kejadian ini.
- 1.340
- 5.000
- 8.660
- 10.000
- 11.180
PEMBAHASAN
Cara 1 | \(X \sim gamma(\alpha = 4,\theta = 2.500)\)
\(Var[X] = \alpha {\theta ^2}\)
\(Var[X] = 4{(2.500)^2}\)
\({\sigma _X} = \sqrt {4{{(2.500)}^2}} \)
\({\sigma _X} = 5.000\) |
Cara 2 | \(E[X] = {M_X}'(0) = \frac{\partial }{{\partial t}}(\frac{1}{{{{(1 – 2.500t)}^4}}})\)
\(E[X] = ( – 4)( – 2.500){(1 – 2.500t)^{ – 5}}{|_{t = 0}}\)
\(E[X] = 10.000\)\(E[{X^2}] = {M_X}”(0) = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}(\frac{1}{{{{(1 – 2.500t)}^4}}})\)
\(E[{X^2}] = \frac{\partial }{{\partial t}}(10.000{(1 – 2.500t)^{ – 5}})\)
\(E[{X^2}] = (10.000)( – 5)( – 2.500){(1 – 2.500t)^{ – 6}}{|_{t = 0}}\)
\(E[{X^2}] = 125.000.000\)
\(Var[X] = 125.000.000 – {(10.000)^2}\)
\(Var[X] = 25.000.000\)
\({\sigma _X} = 5.000\) |
Jawaban | B. 5.000 |