Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi : Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) Mata Ujian : A20 – Probabilitas dan Statistika Periode Ujian : Juni 2016 Nomor Soal : 11
SOAL
Misalkan waktu harapan hidup satu pasangan suami istri adalah saling bebas dan berdistribusi uniform pada interval [0, 40]. Sebuah perusahaan asuransi menawarkan dua produk asuransi pada pasangan yang sudah menikah yaitu sbb:
Produk 1 : Pembayaran benefit ketika suami dari pasangan tersebut meninggal dunia Produk 2 : Pembayaran benefit ketika baik suami dan istri dari pasangan tersebut meninggal dunia Berapa kovariansi dari waktu pembayaran dari dua produk di atas?
0 44,4 66,7 200,0 466,7
PEMBAHASAN
Misalkan X ialah suami meninggal Y ialah istri meninggal Z ialah suami dan istri meninggal X ~ Uniform [0,40] Y ~ Uniform [0,40] Step 1 \(E[X] = \int\limits_0^{40} {x\left( {\frac{1}{{40}}} \right)} dx\)
\(E[X] = \frac{1}{{40}}\left( {\frac{{{{40}^2}}}{2}} \right)\)
\(E[X] = 20\) Step 2 Z ~ Max(X,Y) \(f(z) = n\,{[{F_X}(z)]^{n – 1}}\,{f_X}(z)\)
\(f(z) = 2{\left( {\frac{z}{{40}}} \right)^{2 – 1}}\left( {\frac{1}{{40}}} \right)\) Step 3 \(f(x,y) = f(x)f(y)\)
\(f(x,y) = \frac{1}{{40}}\frac{1}{{40}}\)
\(f(x,y) = \frac{1}{{1600}}\) Step 4 \(Z = \left\{ \begin{array}{l}X\,\,\,\,\,\,\,Y < X\\Y\,\,\,\,\,\,\,\,X < Y\end{array} \right.\)
Untuk X > Y \(E[XZ] = \int\limits_0^{40} {\int\limits_0^x {xx\,\frac{1}{{1600}}dy\,dx} } \)
\(E[XZ] = \frac{1}{{1600}}\int\limits_0^{40} {{x^3}\,dx} \)
\(E[XZ] = \frac{1}{{1600}}\left( {\frac{{{{40}^4}}}{4}} \right)\)
\(E[XZ] = 400\)
Untuk X < Y \(E[XZ] = \int\limits_0^{40} {\int\limits_0^y {xy\frac{1}{{1600}}dx\,dy} } \)
\(E[XZ] = \frac{1}{{1600}}\int\limits_0^{40} {\frac{{{y^3}}}{2}dy} \)
\(E[XZ] = \frac{1}{{1600}}\frac{{{{40}^4}}}{8}\)
\(E[XZ] = 200\)
Step 5 E[XZ] = 400+200
E[XZ]=600
Step 6 \(Cov[X,Z] = E[XZ] – E[X]E[Z]\)
\(Cov[X,Z] = 600 – (20)(26,667)\)
\(Cov[X,Z] = 66,66\)
\(Cov[X,Z] = 66,7\) Jawaban c. 66,7
