Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Keuangan |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2015 |
| Nomor Soal |
: |
8 |
SOAL
Erik menerima uang sebesar USD 12.000 dari polis Asuransi jiwa. Dia menggunakan dana tersebut untuk membeli 2 anuitas yang berbeda, yang masing – masing seharga USD 6.000. Anuitas pertama yang dibelinya adalah anuitas segera (due annuity) selama 24 tahun yang membayarkan sebesar USD K per tahun kepada dirinya. Anuitas kedua adalah anuitas segera (due annuity) selama 8 tahun yang membayarkan sebesar 2K per tahun kepada anaknya. Kedua anuitas tersebut dihitung dengan menggunakan asumsi tingkat bunga efektif tahunan i, dimana i > 0. Berapakah i ? (pembulatan terdekat)
- 6,0%
- 6,2%
- 6,4%
- 6,6%
- 6,8%
| Diketahui |
- anuitas pertama : \(6000 = k{\ddot a_{\left. {\overline {\, {24} \,}}\! \right| i}}\)
- anuitas kedua : \(6000 = 2k{\ddot a_{\left. {\overline {\, 8 \,}}\! \right| i}}\)
|
| Rumus yang digunakan |
\({\ddot a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \frac{{1 – {v^n}}}{d}\) |
| Proses pengerjaan |
\(k{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {24} \,}}\! \right| i}} = 2k{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, 8 \,}}\! \right| i}}\)
\(\frac{{{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {24} \,}}\! \right| i}}}}{{{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, 8 \,}}\! \right| i}}}} = 2\)
\(\frac{{\frac{{1 – {v^{24}}}}{d}}}{{\frac{{1 – {v^8}}}{d}}} = 2\)
\(\frac{{1 – {v^{24}}}}{{1 – {v^8}}} = 2\)
\(\frac{{\left( {1 – {v^8}} \right)\left( {1 + {v^8} + {v^{16}}} \right)}}{{1 – {v^8}}} = 2\)
\({v^{16}} + {v^8} + 1 = 2\)
\({v^{16}} + {v^8} – 1 = 0\)
Misalkan \(x = {v^8}\), maka kita peroleh \({x^2} + x – 1 = 0\)
\({x_{1,2}} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {1 + 4} }}{{2(1)}}\)
ambil nilai x positif, diperoleh:
\(x = {v^8} = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2} = 0,618034\)
\({(1 + i)^{ – 8}} = 0,618034\)
\(i = 0,061997 \approx 0,062 = 6,2\% \) |
| Jawaban |
B. 6,2% |
