Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Matematika Keuangan |
| Periode Ujian | : | April 2019 |
| Nomor Soal | : | 8 |
SOAL
Dengan tingkat bunga dan fitur anuitas yang serupa dengan soal no 7, tentukan nilai present value dari prepetuitas jika dibatasi hingga 2000. Bulatkan jawaban terdekat.
- 16832
- 17932
- 19221
- 20901
- 22151
| Diketahui | Perpetuitas pembayaran sebesar 1000 terhitung satu tahun dari sekarang. Pembayaran berikutnya akan lebih besar 5% hingga 2000. \(i = 0.09\) |
| Rumus yang digunakan | Geometri \({U_n} = a{r^{n – 1}}\) jumlah deret geometri \({S_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \frac{{a\left( {1 – {r^n}} \right)}}{{1 – r}}\) perpetuity \({a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \frac{1}{i}\) |
| Proses pengerjaan | Geometri \({U_n} = a{r^{n – 1}}\) \(\Leftrightarrow 2000 = 1000{\left( {1.05} \right)^{n – 1}}\) \(\Leftrightarrow 2 = {\left( {1.05} \right)^{n – 1}}\) \(\Leftrightarrow \ln 2 = \left( {n – 1} \right)\ln \left( {1.05} \right)\) \(\Leftrightarrow n – 1 = \frac{{\ln 2}}{{\ln \left( {1.05} \right)}}\) \(\Leftrightarrow n = 1 + \frac{{\ln 2}}{{\ln \left( {1.05} \right)}}\) \(\Leftrightarrow n = 15.2067\) maka \(n = 15\) \(PV = Pv + \left( {P(1 + i)} \right){v^2} + \left( {P{{(1 + i)}^2}} \right){v^3} + … + \left( {1000{{(1 + i)}^{14}}} \right){v^{15}} + 2000{v^{16}} + 2000{v^{17}} + …\) \(PV = Pv + \left( {P(1 + i)} \right){v^2} + \left( {P{{(1 + i)}^2}} \right){v^3} + … + \left( {1000{{(1 + i)}^{14}}} \right){v^{15}} + 2000{v^{15}}(v + {v^2} + …)\) \(= 1000 \cdot {(1.09)^{ – 1}} + \left( {1000 \cdot (1.05)} \right){(1.09)^{ – 2}} + … + \left( {1000 \cdot {{(1.05)}^{14}}} \right){(1.09)^{ – 15}} + 2000{(1.09)^{ – 15}}(\frac{1}{{0.09}}){\rm{ }}\) \(= \frac{{\left( {1000 \cdot {{(1.09)}^{ – 1}}} \right)\left( {1 – {{\left( {\left( {1.05} \right){{\left( {1.09} \right)}^{ – 1}}} \right)}^{15}}} \right)}}{{1 – \left( {\left( {1.05} \right){{\left( {1.09} \right)}^{ – 1}}} \right)}} + 2000{(1.09)^{ – 15}}(\frac{1}{{0.09}})\) \(= 10731.38 + 6100.845\) \(= 16832.22\) |
| Jawaban | a. 16832 |