Pembahasan Ujian PAI: A10 – No. 22 – April 2024

Tingkat kupon: \(r = 12\%\)  (setengah tahunan)

Redemption value: \(C = 100\) juta

Tingkat bunga (yield) setengah tahunan: \(j = 10\%\)

Tenor obligasi: \(n\) tahun

RALAT PADA SOAL: Seharusnya apabila tingkat kupon > tingkat bunga, maka ketika tenor naik, harga obligasi naik, bukan turun. Pada pembahasan ini akan digunakan harga yang meningkat.

Jika tenor obligasi menjadi \(2n\) (dua kali lipat) maka harga obligasi naik 5 juta.

$$P = F\,r\,a_{\overline{n}|j} + C\,v^{n}$$

(Ingat bahwa harga obligasi merupakan present value dari kupon yang diberikan dan nilai jatuh temponya => sama seperti konsep hutang, dengan cicilan kupon kemudian pelunasan sebesar redemption value pada akhir tenor).

PV dari anuitas akhir (yang membayarkan 1 unit per tahun):

$$a_{\overline{n}|i} = \frac{1 – (1 + i)^{-n}}{i}$$

$$P = F\,r\,a_{\overline{n}|j} + C\,v^{n}$$
$$P = 100 \times \frac{12\%}{2}\,a_{\overline{n}|j} + 100\,v^{n}$$
$$P = 6\,a_{\overline{n}|j} + 100\,v^{n} \qquad \cdots (1)$$

Adapun harga obligasi ketika tenor menjadi 2 kali lipat menurun sebesar 5 juta:

$$P_{2} = F\,r\,a_{\overline{n}|j} + C\,v^{n_{2}}$$
$$P + 5 = 100 \times \frac{12\%}{2}\,a_{\overline{2n}|j} + 100\,v^{2n}$$
$$P = 6\,a_{\overline{2n}|j} + 100\,v^{2n} – 5 \qquad \cdots (2)$$

Dengan menggunakan tingkat bunga per setengah tahun \((j/2 = 5\%)\) dan tingkat kupon per setengah tahun \((r/2 = 6\%)\), nilai \(P\) sama untuk kedua persamaan di atas. Dengan demikian dapat dituliskan:

$$6\,a_{\overline{n}|j} + 100\,v^{n} = 6\,a_{\overline{2n}|j} + 100\,v^{2n} – 5$$
$$6 \times \frac{1 – v^{n}}{0{,}05} + 100\,v^{n} = 6 \times \frac{1 – v^{2n}}{0{,}05} + 100\,v^{2n} – 5$$
$$120 – 120v^{n} + 100v^{n} = 120 – 120v^{2n} + 100v^{2n} – 5$$
$$120 – 20v^{n} = 115 – 20v^{2n}$$
$$20v^{2n} – 20v^{n} + 5 = 0$$
$$4v^{2n} – 4v^{n} + 1 = 0$$

Menggunakan persamaan kuadrat dengan memisalkan \(v^{n} = x\), maka diperoleh: \(x = 0{,}5\). Dengan demikian diperoleh:

$$\frac{1}{(1{,}05)^{n}} = 0{,}5$$
$$n = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} = 14{,}207$$

Jadi, harga obligasi dengan tenor \(n\) tahun tersebut adalah

$$P = 6\,a_{\overline{n}|j} + 100\,v^{n}$$
$$P = 120 – 120v^{n} + 100v^{n}$$
$$P = 120 – 120(0{,}5) + 100(0{,}5)$$
$$P = 120 – 60 + 50 = 110 \text{ juta}$$

Diperoleh harga obligasi sebesar 110 juta.