Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2017 |
| Nomor Soal |
: |
1 |
SOAL
Anda adalah seorang produser sebuah acara kuis di televisi yang menyediakan hadiah berupa uang tunai. Banyaknya hadiah, N, dan nilai hadiah, X, berdistribusi sebagai berikut:
| x |
Pr(X = x) |
| 0 |
0,2 |
| 100 |
0,7 |
| 1.000 |
0,1 |
Besarnya anggaran yang disediakan sebagai hadiah adalah sebesar ekspektasi hadiah yang diperoleh ditambah simpangan bakunya. Hitunglah besarnya anggaran tersebut
- 306
- 318
- 416
- 506
- 518
| Diketahui |
Anda adalah seorang produser sebuah acara kuis di televisi yang menyediakan hadiah berupa uang tunai. Banyaknya hadiah, N, dan nilai hadiah, X, berdistribusi sebagai berikut:
| x |
Pr(X = x) |
| 0 |
0,2 |
| 100 |
0,7 |
| 1.000 |
0,1 |
Besarnya anggaran yang disediakan sebagai hadiah adalah sebesar ekspektasi hadiah yang diperoleh ditambah simpangan bakunya |
| Rumus yang digunakan |
\(E\left[ N \right] = n \cdot \Pr \left( {N = n} \right),\) \(E\left[ {{N^2}} \right] = {n^2} \cdot \Pr \left( {N = n} \right)\)
\(E\left[ X \right] = x \cdot \Pr \left( {X = x} \right),\) \(E\left[ {{X^2}} \right] = {x^2} \cdot \Pr \left( {X = x} \right)\)
\(E\left[ S \right] = E\left[ N \right]E\left[ X \right]\)
\(Var\left( S \right) = E\left[ N \right]Var\left( X \right) + Var\left( N \right)E{\left[ X \right]^2}\) |
| Proses pengerjaan |
\(E\left[ N \right] = 0.8\left( 1 \right) + 0.2\left( 2 \right) = 1.2\)
\(E\left[ {{N^2}} \right] = 0.8\left( {{1^2}} \right) + 0.2\left( {{2^2}} \right) = 1.6\)
\(Var\left( N \right) = E\left[ {{N^2}} \right] – {\left( {E\left[ N \right]} \right)^2} = 1.6 – {1.2^2} = 0.16\) |
|
\(E\left[ X \right] = 0.7\left( {100} \right) + 0.1\left( {1000} \right) = 170\)
\(E\left[ {{X^2}} \right] = 0.7\left( {{{100}^2}} \right) + 0.1\left( {{{1000}^2}} \right) = 107,000\)
\(Var\left( X \right) = E\left[ {{X^2}} \right] – {\left( {E\left[ X \right]} \right)^2} = 107,000 – {170^2} = 78,100\) |
|
\(E\left[ S \right] = E\left[ N \right]E\left[ X \right] = \left( {1.2} \right)\left( {170} \right) = 204\)
\(Var\left( S \right) = E\left[ N \right]Var\left( X \right) + Var\left( N \right){\left( {E\left[ X \right]} \right)^2} = 1.2\left( {78,100} \right) + 0.16\left( {{{170}^2}} \right) = 98,344\)
\(E\left[ S \right] + {\sigma _S} = 204 + \sqrt {98,344} = 517.60\) |
| Jawaban |
e. 518 |
