Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian |
: |
Matematika Keuangan |
Periode Ujian |
: |
Juni 2015 |
Nomor Soal |
: |
9 |
SOAL
Suatu perpetuitas memiliki harga sebesar 77,1 dan akan memberikan pembayaran tahunan di setiap akhir tahun. Perpetuitas tersebut membayar sebesar 1 di akhir tahun ke-2, sebesar 2 di akhir tahun ke-3,….., dan seterusnya sebesar n di akhir tahun ke (n+1). Setelah tahun ke (n+1), pembayaran tetap sebesar n. Jika diketahui tingkat bunga efektif tahunan sebesar 10,5%, berapakah n?
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
Diketahui |
- Harga Perpetuitas = 77,1
- Pembayaran 1 di akhir tahun ke-2
- Pembayaran sebsar 2 di akhir tahun ke-3,…, dan seterusnya sebesar n di akhir tahun ke (n+1)
- i = 10,5%
|
Rumus yang digunakan |
- \({\left( {Ia} \right)_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \frac{{{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} – n{v^n}}}{i}\)
- \({a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| }} = \frac{1}{i}\)
|
Proses pengerjaan |
\(77,1 = v{\left( {Ia} \right)_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} + n{v^{n + 1}}{a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| }}\)
\(77,1 = v\left( {\frac{{{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} – n{v^n}}}{i}} \right) + n{v^{n + 1}}\frac{1}{i}\)
\(77,1 = \frac{v}{i}{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} – \frac{{n{v^{n + 1}}}}{i} + \frac{{n{v^{n + 1}}}}{i}\)
\(77,1 = \frac{v}{i}{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }}\)
\(77,1 = \frac{{{a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }}}}{i}\)
\({a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = 77,1i = (77,1)(10,5\% ) = 8,0955\)
\(\frac{{1 – {v^n}}}{i} = 8,0955\)
\({v^n} = 0,1499725\)
\({(1 + i)^{ – n}} = 0,1499725\)
\(n = 19,0024 \approx 19\) |
Jawaban |
c. 19 |