Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2018 |
| Nomor Soal |
: |
2 |
SOAL
Diketahui
- Banyaknya klaim mengikuti distribusi Poisson dengan mean \(\lambda \)
- Observasi selain 0 dan 1 telah dihapus dari data
- Data berisi jumlah pengamatan yang sama untuk observasi 0 dan 1
Tentukan besar \(\lambda \) menggunakan metode Maximum Likelihood (cari angka dengan pembulatan terdekat)
- 0,75
- 1,00
- 1,25
- 1,50
- 1,80
| Diketahui |
- Banyaknya klaim mengikuti distribusi Poisson dengan mean \(\lambda \)
- Observasi selain 0 dan 1 telah dihapus dari data
- Data berisi jumlah pengamatan yang sama untuk observasi 0 dan 1
|
| Rumus yang digunakan |
\({p_k} = \frac{{{\lambda ^k} \cdot {e^{ – \lambda }}}}{{k!}}\)
Karena hanya ada dua observasi yaitu bernilai 0 dan 1 maka kita gunakan teknik Bernoulli yaitu
\({L\left( q \right) = {{\left( {1 – q} \right)}^m}{q^n},}\) \({\frac{{d\ln \left[ {L\left( q \right)} \right]}}{{dq}} = 0}\) |
| Proses pengerjaan |
\(L\left( q \right) = {\left( {1 – q} \right)^m}{q^n}\)
\(\ln \left[ {L\left( q \right)} \right] = m\ln \left( {1 – q} \right) + n\ln \left( q \right)\)
\(\frac{{d\ln \left[ {L\left( q \right)} \right]}}{{dq}} = – \frac{m}{{1 – q}} + \frac{n}{q} = 0\)
\(mq – n + nq = 0\)
\(\hat q = \frac{n}{{m + n}}\) |
|
Dari rumus di atas diperoleh fitted probabilities sama dengan peluang sampel sehingga
\(\Pr \left( {\left. {N = 0} \right|N < 2} \right) = \Pr \left( {\left. {N = 1} \right|N < 2} \right)\)
\(\frac{{{p_0}}}{{{p_0} + {p_1}}} = \frac{{{p_1}}}{{{p_0} + {p_1}}}\)
\({p_0} = {p_1}\)
\({e^{ – \lambda }} = \lambda {e^{ – \lambda }}\)
\(\lambda = 1\) |
| Jawaban |
b. 1,00 |
