Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Agustus 2019 |
| Nomor Soal |
: |
8 |
SOAL
Banyaknya klaim N tercatat pada suatu portofolio asuransi mengikuti distribusi sbb:
| \(n\) |
\(\Pr \left( {N = n} \right)\) |
| 2 |
50% |
| 3 |
30% |
| 4 |
20% |
Jika suatu klaim terjadi, akan dibayarkan manfaat sebesar 0 atau 10 dengan peluang sebesar 0,7 dan 0,3. Banyaknya klaim dan besar manfaat yang dibayarkan untuk setiap klaim ialah saling bebas.
Hitung peluang bahwa total nilai manfaat yang dibayarkan akan lebih besar dari nilai ekspetasi pembayaran manfaat sejauh minimal 2,5 kali standar deviasi. (Pilihlah jawaban yang paling mendekati)
- 2,0%
- 2,5%
- 3,0%
- 3,5%
- 4,0%
| Diketahui |
- Banyaknya klaim tercatat pada suatu portofolio asuransi mengikuti distribusi sbb:
| \(n\) |
\(\Pr \left( {N = n} \right)\) |
| 2 |
50% |
| 3 |
30% |
| 4 |
20% |
- Jika suatu klaim terjadi, akan dibayarkan manfaat sebesar 0 atau 10 dengan peluang sebesar 0,7 dan 0,3.
- Banyaknya klaim dan besar manfaat yang dibayarkan untuk setiap klaim ialah saling bebas.
- Total nilai manfaat yang dibayarkan akan lebih besar dari nilai ekspetasi pembayaran manfaat sejauh minimal 2,5 kali standar deviasi
|
| Rumus yang digunkan |
\(E\left[ S \right] = E\left[ N \right] \cdot E\left[ X \right]\) dan \(Var\left( S \right) = E\left[ N \right]Var\left( X \right) + Var\left( N \right)E{\left[ X \right]^2}\)
\(\bar s = E\left( S \right) + \Pr \left( S \right)\sqrt {Var\left( S \right)} \) |
| Proses pengerjaan |
Misalkan \(X\) total klaim dan \(S\) manfaat gabungan
\(E\left[ N \right] = 0.5\left( 2 \right) + 0.3\left( 3 \right) + 0.2\left( 4 \right) = 2.7\)
\(Var\left( N \right) = 0.5\left( {{2^2}} \right) + 0.3\left( {{3^2}} \right) + 0.2\left( {{4^2}} \right) – {2.7^2} = 0.61\)
\(E\left[ X \right] = 0.7\left( 0 \right) + 0.3\left( {10} \right) = 3\)
\(Var\left( X \right) = 0.7\left( {{0^2}} \right) + 0.3\left( {{{10}^2}} \right) – {3^2} = 21\)
\(E\left[ S \right] = 2.7\left( 3 \right) = 8.1\)
\(Var\left( S \right) = 2.7\left( {21} \right) + 0.61\left( {{3^2}} \right) = 62.19\) |
|
\(\bar s = E\left( S \right) + \Pr \left( S \right)\sqrt {Var\left( S \right)} \)
\(\bar s = 8.1 + 2.5\sqrt {62.19} = 27.815159\) |
|
Untuk peluang lebih dari 27.815159 bisa diperoleh untuk nilai manfaat 10+10+10 untuk 3 klaim, 10+10+10+0 untuk 4 klaim (dengan 4 kemungkinan urutan letak kejadian bernilai 0), dan 10+10+10+10 untuk 4 klaim, maka
\(\Pr \left( {S > 27.82} \right) = \Pr \left( {N = 3} \right) \cdot \Pr {\left( {X = 10} \right)^3} + 4 \cdot \Pr \left( {N = 4} \right) \cdot \)
\(\Pr {\left( {X = 10} \right)^3} \cdot \Pr \left( {X = 0} \right) + \Pr \left( {N = 4} \right) \cdot \Pr {\left( {X = 10} \right)^4}\)
\(\Pr \left( {S > 27.82} \right) = 0.3\left( {{{0.3}^3}} \right) + 4 \cdot 0.2\left( {{{0.3}^3}} \right)\left( {0.7} \right) + 0.2\left( {{{0.3}^4}} \right)\)
\(\Pr \left( {S > 27.82} \right) = 0.02484 = 2.484\% \) |
| Jawaban |
b. 2,5% |
