Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Agustus 2019 |
| Nomor Soal |
: |
7 |
SOAL
Banyaknya karyawan laki-laki di suatu divisi aktuaria perusahaan asuransi umum dengan total karyawan sejumlah \(m\) orang diketahui berdistribusi Binomial dengan parameter \(q\). Diketahui \(q\) bervariasi antar perusahaan asuransi yang berbeda dengan distribusi Beta yang memiliki parameter \(\alpha = 3\), \(\beta = 3\), dan \(\theta = 1\).
Berapakah peluang bahwa suatu divisi aktuaria asuransi umum dengan total 6 karyawan, mempunyai 5 karyawan laki-laki dan 1 karyawan perempuan?
- Kurang dari 11%
- Sedikitnya 11% tapi kurang dari 12%
- Sedikitnya 12% tapi kurang dari 13%
- Sedikitnya 13% tapi kurang dari 14%
- Sedikitnya 14%
| Diketahui |
- Banyaknya karyawan laki-laki di suatu divisi aktuaria perusahaan asuransi umum dengan total karyawan sejumlah \(m\) orang diketahui berdistribusi Binomial dengan parameter \(q\).
- Diketahui \(q\) bervariasi antar perusahaan asuransi yang berbeda dengan distribusi Beta yang memiliki parameter \(\alpha = 3\), \(\beta = 3\), dan \(\theta = 1\).
|
| Rumus yang digunakan |
Mixing distribution: \({f_X}\left( x \right) = \int {{f_{\left. X \right|\Lambda }}\left( {\left. x \right|\lambda } \right){f_\Lambda }\left( \lambda \right)d\lambda } \)
Binomial: \(p\left( x \right) = \frac{{m!}}{{k!\left( {m – k} \right)!}}{q^k}{\left( {1 – q} \right)^{m – k}}\)
Beta: \(f\left( x \right) = \frac{{\Gamma \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\Gamma \left( \alpha \right)\Gamma \left( \alpha \right)}}{\left( {\frac{x}{\theta }} \right)^\alpha }{\left( {1 – \frac{x}{\theta }} \right)^{\beta – 1}}\left( {\frac{1}{x}} \right)\) dengan \(\Gamma \left( n \right) = \left( {n – 1} \right)!\) |
| Proses pengerjaan |
\(f\left( 5 \right) = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{6!}}{{5! \cdot 1!}}{q^5}{{\left( {1 – q} \right)}^1}} \right] \cdot \left[ {\frac{{\Gamma \left( 6 \right)}}{{\Gamma \left( 3 \right)\Gamma \left( 3 \right)}}{{\left( q \right)}^3}{{\left( {1 – q} \right)}^2}\left( {\frac{1}{q}} \right)} \right]dq} \)
\(f\left( 5 \right) = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{6!}}{{5! \cdot 1!}}{q^5}{{\left( {1 – q} \right)}^1}} \right] \cdot \left[ {\frac{{5!}}{{2! \cdot 2!}}{{\left( q \right)}^2}{{\left( {1 – q} \right)}^2}} \right]dq} \)
\(f\left( 5 \right) = \int\limits_0^1 {180{q^7}{{\left( {1 – q} \right)}^3}dq} = \int\limits_0^1 {180{q^7}\left( {1 – 3q + 3{q^2} – {q^3}} \right)dq} \)
\(f\left( 5 \right) = 180\int\limits_0^1 {\left( {{q^7} – 3{q^8} + 3{q^9} – {q^{10}}} \right)dq} \)
\(f\left( 5 \right) = 180\left[ {\frac{{{q^8}}}{8} – \frac{{{q^9}}}{3} + \frac{{3{q^{10}}}}{{10}} – \frac{{{q^{11}}}}{{11}}} \right]_0^1\)
\(f\left( 5 \right) = 0.136364 = 13.6364\% \) |
| Jawaban |
d. Sedikitnya 13% tapi kurang dari 14% |
