Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | April 2019 |
| Nomor Soal | : | 6 |
SOAL
Seorang aktuaris untuk asuransi perjalanan menganalisis dan menentukan bahwa distribusi banyaknya klaim dalam 1 tahun dari seorang pemegang polis yang dipilih secara acak dapat dimodelkan oleh distribusi binomial negatif dengan rata-rata 0,2 dan variansi 0,4.
Banyaknya klaim dari setiap pemegang polis mengikuti distribusi Poisson dan rata-rata dari distribusi Poisson mengikuti distribusi Gamma terhadap seluruh populasi pemegang polis.
Hitung variansi dari distribusi Gamma di atas
- 0,20
- 0,25
- 0,30
- 0,45
- 0,55
| Diketahui | - Distribusi banyaknya klaim dalam 1 tahun dari seorang pemegang polis yang dipilih secara acak dapat dimodelkan oleh distribusi binomial negatif dengan rata-rata 0,2 dan variansi 0,4.
- Banyaknya klaim dari setiap pemegang polis mengikuti distribusi Poisson dan rata-rata dari distribusi Poisson mengikuti distribusi Gamma terhadap seluruh populasi pemegang polis.
|
| Rumus yang digunakan | Negatif Binomial
\(\begin{array}{*{20}{c}} {E\left[ X \right] = r\beta ,}&{Var\left[ X \right] = r\beta \left( {1 + \beta } \right)} \end{array}\)
Gamma
\(\begin{array}{*{20}{c}} {\theta = {\beta _{Neg.Bin}},}&{\alpha = {r_{Neg.Bin}},}&{Var\left[ Y \right] = \alpha {\theta ^2}} \end{array}\)
Cara cepat
\(Var\left[ \lambda \right] = Var\left[ X \right] – E\left[ X \right]\) |
| Proses pengerjaan | \(E\left[ X \right] = r\beta = 0.2\) dan \(Var\left[ X \right] = r\beta \left( {1 + \beta } \right) = 0.4\) dengan substitusi diperoleh
\(Var\left[ X \right] = r\beta \left( {1 + \beta } \right)\)
\(0.4 = 0.2\left( {1 + \beta } \right)\)
\(\beta = \frac{{0.4}}{{0.2}} – 1 = 1\)
\(E\left[ X \right] = r\beta \)
\(0.2 = r\) |
| \(Var\left[ Y \right] = \alpha {\theta ^2} = 0.2\left( {{1^2}} \right) = 0.2\) |
| Cara cepat
\(Var\left[ \lambda \right] = Var\left[ X \right] – E\left[ X \right] = 0.4 – 0.2 = 0.2\) |
| Jawaban | a. 0,20 |
