Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2018 |
| Nomor Soal |
: |
23 |
SOAL
Seorang aktuaris di perusahaan asuransi membuat model banyaknya klaim dari kejadian “third party claims”. Aktuaris tersebut menyimpulkan bahwa banyaknya klaim yang diajukan per tahun per pemegang polis mengikuti distribusi Poisson dengan parameter \(\lambda \), dimana \(\lambda \) mengikuti distribusi Gamma dengan rataan 3 dan varaiansi 3.
Hitung peluang bahwa seorang pemegang polis terpilih secara acak akan mengajukan klaim tidak lebih dari 1 tahun yang akan datang
- 0,2150
- 0,6550
- 0,0155
- 0,1500
- 0,3125
| Diketahui |
Banyaknya klaim yang diajukan per tahun per pemegang polis mengikuti distribusi Poisson dengan parameter \(\lambda \), dimana \(\lambda \) mengikuti distribusi Gamma dengan rataan 3 dan varaiansi 3. |
| Rumus yang digunakan |
\(E\left[ N \right] = E\left[ {E\left( {\left. X \right|\lambda } \right)} \right] = E\left[ \lambda \right]\)
\(Var\left[ N \right] = E\left[ {Var\left( {\left. X \right|\lambda } \right)} \right] + Var\left[ {E\left( {\left. X \right|\lambda } \right)} \right] = E\left[ \lambda \right] + Var\left[ \lambda \right]\)
Negatif Binomial:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {E\left[ N \right] = r\beta ,}&{Var\left[ N \right] = r\beta \left( {1 + \beta } \right)} \end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{c}} {{p_0} = {{\left( {1 + \beta } \right)}^{ – r}},}&{{p_k} = \frac{{r\left( {r + 1} \right) \cdots \left( {r + k – 1} \right){\beta ^k}}}{{k!{{\left( {1 + \beta } \right)}^{r + k}}}}} \end{array}\) |
| Proses pengerjaan |
Distribusi dari klaim yang berupa campuran gamma dan poisson merupakan distribusi negative binomial (Sub Bab 6.3 Buku Loss Model)
\(E\left[ N \right] = E\left[ {E\left( {\left. X \right|\lambda } \right)} \right] = E\left[ \lambda \right] = 3\)
\(Var\left[ N \right] = E\left[ {Var\left( {\left. X \right|\lambda } \right)} \right] + Var\left[ {E\left( {\left. X \right|\lambda } \right)} \right] = E\left[ \lambda \right] + Var\left[ \lambda \right] = 3 + 3 = 6\) |
|
Menggunakan kriteria DIstribusi Negatif Binomial diperoleh
\(E\left[ N \right] = r\beta = 3\)
\(Var\left[ N \right] = r\beta \left( {1 + \beta } \right) = 6\)
- \(1 + \beta = \frac{6}{3} = 2 \Leftrightarrow \beta = 1\)
- \(r\beta = 3 \Leftrightarrow r = 3\)
|
|
\({p_0} = {\left( {1 + \beta } \right)^{ – r}} = {\left( {1 + 1} \right)^{ – 3}} = 0.125\)
\({p_1} = \frac{{r\beta }}{{{{\left( {1 + \beta } \right)}^{r + 1}}}} = \frac{3}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^4}}} = 0.1875\)
\(\Pr \left( {N \le 1} \right) = {p_0} + {p_1} = 0.125 + 0.1875 = 0.3125\) |
| Jawaban |
e. 0,3125 |
