Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | Mei 2018 |
| Nomor Soal | : | 20 |
SOAL
Banyaknya klaim pada satu tahun, Y, mempunyai distribusi Poisson dengan parameter \(\theta \). Distribusi prior mengikuti distribusi gamma dengan fungsi kepadatan peluang \(\pi (\theta ) = \theta {e^{ – \theta }}\). Terdapat satu klaim pada satu tahun. Berdasarkan fungsi kepadatan peluang posterior dari \(\theta \), tentukan tipe distribusi yang sesuai
- Gamma dengan parameter 3 dan 0,5
- Gamma dengan parameter 5 dan 0,25
- Gamma dengan parameter 1 dan 0,5
- Beta dengan parameter 3 dan 0,5
- Beta dengan parameter 3 dan 0,25
| Pembahasan | Distribusi posterior proporsional,
\(p(1)\pi (\theta ) = \frac{{{e^{ – \theta }}{\theta ^1}}}{{1!}}\theta {e^{ – \theta }}\)
\(p(1)\pi (\theta ) = {\theta ^2}{e^{ – 2\theta }}\)
- Rumus distribusi gamma,
\(f(x) = \frac{{{x^{\alpha – 1}}{e^{ – \frac{x}{\theta }}}}}{{\Gamma (\alpha ){\theta ^\alpha }}}\)
\({x^{\alpha – 1}}{e^{ – \frac{x}{\theta }}} = {\theta ^2}{e^{ – 2\theta }}\)
\({x^{\alpha – 1}}{e^{ – \frac{x}{\theta }}} = {\theta ^{3 – 1}}{e^{ – \frac{\theta }{{0,5}}}}\)
Fungsi ini merupakan fungsi untuk distribusi gamma dengan parameter
\((\alpha = 3,\,\,\theta = 0,5)\) |
| Jawaban | a. Gamma dengan parameter 3 dan 0,5 |
