Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Banyaknya klaim pertahun dari seorang tertanggung mengikuti sebuah distribusi Poisson dengan rata-rata \(\lambda \).
\(\lambda \) bervariasi berdasarkan sebuah distribusi gamma dengan \(\alpha = 20\) dan \(\theta = 0.01\). Berikut adalah informasi mengenai banyaknya klaim pertahun yang terjadi pada seorang tertanggung selama enam tahun terakhir.
0, 0, 1, 0, 0, 1
Hitunglah the posterior variance dari banyaknya klaim pertahun untuk tertanggung ini pada tahun depan.
- kurang dari 0,18
- paling sedikit 0,18 akan tetapi kurang dari 0,19
- paling sedikit 0,19 akan tetapi kurang dari 0,20
- paling sedikit 0,20 akan tetapi kurang dari 0,21
- paling sedikit 0,21
| Diketahui |
|
| Rumus yang digunakan | \(Var(\Lambda ){\rm{ }} = \frac{{{\theta ^ * }\Gamma ({\alpha ^ * } + 2)}}{{\Gamma ({\alpha ^ * })}} – {\left( {\frac{{{\theta ^ * }\Gamma ({\alpha ^ * } + 1)}}{{\Gamma ({\alpha ^ * })}}} \right)^2}\) |
| Proses pengerjaan | Distribusi posterior untuk permasalahan ini adalah: \({\pi _{\Lambda |{\bf{X}}}}(\lambda |{\bf{x}}) \propto {e^{ – n\lambda }}{\lambda ^{\sum\limits_{j = 1}^n {{X_j}\frac{{{{\left( {\frac{\lambda }{\theta }} \right)}^\alpha }{e^{ – \frac{\lambda }{\theta }}}}}{{\lambda \Gamma (\alpha )}}} }}\) \({\pi _{\Lambda |{\bf{X}}}}(\lambda |{\bf{x}}) \propto {e^{ – n\lambda – \frac{\lambda }{\theta }}}{\lambda ^{\sum\limits_{j = 1}^n {{X_j} + \alpha – 1} }}\) \({\pi _{\Lambda |{\bf{X}}}}(\lambda |{\bf{x}}) = {e^{ – 106\lambda }}{\lambda ^{2 + 19}}\) \(\Lambda |{\bf{X}} \sim\) gamma \(({\alpha ^ * },{\theta ^ * })\) dengan \({\alpha ^ * } – 1 = 2 + 19 = 21\) \({\alpha ^ * } = 22\) \({\theta ^ * } = 106\) posterior variance dari banyaknya klaim pertahun untuk tertanggung menjadi: |
| Jawaban | A. kurang dari 0,18 |