Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Pernyataan dibawah digunakan untuk menjawab soal untuk no 12-15
Suatu model statistik “individual losses” diketahui memiliki distribusi gamma dengan paramater \(\alpha \) = 2 dan \(\theta \) = 100. Banyaknya klaim mengikuti distribusi binomial negatif dengan \(\tau \) = 2 dan \(\beta \) = 1,5. Untuk setiap kerugian, berlaku deduktibel standard (“ordinary deductible“) ialah 50 dan loss limit dari besar klaim sebelum dipotong deduktibel ialah 175.
Hitung variansi dari besar agregat pembayaran klaim “per-loss basis”?
- 62.616
- 69.526
- 26.162
- 66.616
Diketahui | “individual losses” diketahui memiliki distribusi gamma dengan paramater: \(\alpha \) = 2 \(\theta \) = 100 Banyaknya klaim mengikuti distribusi binomial negatif dengan: Untuk setiap kerugian, berlaku deduktibel standard (“ordinary deductible“) ialah 50 dan loss limit dari besar klaim sebelum dipotong deduktibel ialah 175 |
Rumus yang digunakan | \(Var(S){\rm{ }} = E[{N^L}]Var[{Y^L}]{\rm{ }} + Var[{N^L}]{(E[{Y^L}])^2}\) |
Proses pengerjaan | \(Var(S){\rm{ }} = E[{N^L}]Var[{Y^L}]{\rm{ }} + Var[{N^L}]{(E[{Y^L}])^2}\)
\(E[{N^L}] = \tau \beta = 2(1,5){\rm{ }} = 3\)
\(Var[{N^L}]{\rm{ }} = \tau \beta (1 + \beta ){\rm{ }} = 2(1,5)(2,5){\rm{ }} = 7,5\)
Distribusi gamma dengan parameter \(\alpha = 2\) dan \(\theta = 100\) , diketahui bawha: Dari soal nomor 12 diperoleh \(E[{Y^L}]{\rm{ }} = 134,{\rm{ }}8347113 – 48,{\rm{ }}36734 = 86,{\rm{ }}4673713\) \(E[{({Y^L})^2}] = E[{(X \wedge 175)^2}] – E[{(X \wedge 50)^2}] – 2(50)[E[X \wedge 175] – E[X \wedge 50]]\) \(E[{({Y^L})^2}] = 20.683,64547 – 2.379,58738 – 100(86,4673713) = 9.657,32096\) \(Var[{Y^L}]{\rm{ }} = E[{({Y^L})^2}] – {(E[{Y^L}])^2} = 9.657,32096 – {(86,4673713)^2} = 2.180,71466\) \(Var(S){\rm{ }} = E[{N^L}]Var[{Y^L}]{\rm{ }} + Var[{N^L}]{(E[{Y^L}])^2}\) \(= 3(2.180,71466){\rm{ }} + 7,{\rm{ }}5{(86,4673713)^2} = 62.616,69 \approx 62.616\) |
Jawaban | a. 62.616 |