Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | Agustus 2019 |
| Nomor Soal | : | 12 |
SOAL
Diberikan informasi sebagai berikut:
- \({X_i}\) ialah banyaknya klaim yang diamati pada suatu perusahaan \(i\) dalam satu tahun.
- \({X_i}\) berdistribusi negative binomial dengan parameter \(\beta = 0,7\) dan \({r_i}\).
- \({r_i}\) berdistribusi gamma dengan parameter \(\alpha \) dan \(\theta \)
Hitung \(K\), parameter kredibilitas Buhlmann
- \(1,19a\)
- \(\frac{{1,19}}{\theta }\)
- \(2,43a\)
- \(\frac{{2,43}}{\theta }\)
- Tidak ada jawaban yang benar
| Diketahui | - \({X_i}\) ialah banyaknya klaim yang diamati pada suatu perusahaan \(i\) dalam satu tahun.
- \({X_i}\) berdistribusi negative binomial dengan parameter \(\beta = 0,7\) dan \({r_i}\).
- \({r_i}\) berdistribusi gamma dengan parameter \(\alpha \) dan \(\theta \)
|
| Rumus yang digunakan | - Negatif Binomial: \(E\left[ X \right] = r\beta \) dan \(Var\left( X \right) = r\beta \left( {1 + \beta } \right)\)
- Gamma: \(E\left[ X \right] = \alpha \theta \) dan \(Var\left( X \right) = \alpha {\theta ^2}\)
- Buhlmann
\(k = \frac{v}{a}\)
\(a = Var\left[ {\mu \left( \Theta \right)} \right] = Var\left[ {E\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) varians dari hypothetical mean
\(v = E\left[ {v\left( \Theta \right)} \right] = E\left[ {Var\left( {\left. {{X_j}} \right|\Theta } \right)} \right]\) ekspektasi dari process varians |
| Proses pengerjaan | Karena banyaknya klaim berdistribusi Negatif Binomial maka
\(v = E\left[ {Var\left( X \right)} \right] = E\left[ {r\beta \left( {1 + \beta } \right)} \right] = E\left[ {0.7r\left( {1.7} \right)} \right] = 1.19E\left[ r \right]\)
\(v = 1.19\alpha \theta \)
Dan
\(a = Var\left( {E\left[ X \right]} \right) = Var\left( {r\beta } \right) = Var\left( {0.7r} \right) = 0.49Var\left( r \right)\)
\(a = 0.49\alpha {\theta ^2}\) |
| \(k = \frac{v}{a} = \frac{{1.19\alpha \theta }}{{0.49\alpha {\theta ^2}}} = \frac{{2.428571}}{\theta }\) |
| Jawaban | d. \(\frac{{2,43}}{\theta }\) |
