Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Diberikan data kerugian untuk dua kategori kelas sebagai berikut:
| Kategori | Banyak Klaim | Besar Klaim |
| A | 120 | 40.000 |
| B | 250 | 110.000 |
Rata-rata besarnya klaim pada kategori B ialah 1,5 kali dari besar klaim pada ketegori A. Besar klaim untuk masing-masing kategori berdistribusi Gamma dengan parameter \(\alpha = 3\). Hitung estimasi rata-rata besar klaim untuk kategori A dengan menggunakan metode maximum likelihood yang diaplikasikan untuk kedua kategori di atas.
- Kurang dari 310
- Sedikitnya 310 tapi kurang dari 320
- Sedikitnya 320 tapi kurang dari 330
- Sedikitnya 330 tapi kurang dari 340
- Sedikitnya 340
| Diketahui |
|
|||||||||
| Rumus yang digunakan | \(L\left( \theta \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i};\theta } \right)} \Rightarrow \frac{{d\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right]}}{{d\theta }} = 0\) Gamma: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha – 1}}}}{{{\theta ^\alpha }\Gamma \left( \alpha \right)}}\exp \left[ { – \frac{x}{\theta }} \right]\) dengan \(\Gamma \left( n \right) = \left( {n – 1} \right)!\) dan \(E\left[ X \right] = \alpha \theta \) \(E\left[ {X + Y} \right] = E\left[ X \right] + E\left[ Y \right] = {\mu _X} + {\mu _Y}\) | |||||||||
| Proses pengerjaan | \(L\left( \theta \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i};\theta } \right)} = \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{x_i^{\alpha – 1}}}{{{\theta ^\alpha }\Gamma \left( \alpha \right)}}\exp \left[ { – \frac{{{x_i}}}{\theta }} \right]} \) \(L\left( \theta \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {x_i^{\alpha – 1} \cdot \frac{1}{{{\theta ^{n\alpha }}\Gamma {{\left( \alpha \right)}^n}}}} \cdot \exp \left[ {\frac{{ – \sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} }}{\theta }} \right]\) \(\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right] = \left( {\alpha – 1} \right)\sum\limits_{i = i}^n {\ln \left( {{x_i}} \right)} – n\ln \left( {\Gamma \left( \alpha \right)} \right) – n\alpha \ln \left( \theta \right) – \frac{{\sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} }}{\theta }\) \(\frac{{d\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right]}}{{d\theta }} = – \frac{{n\alpha }}{\theta } + \frac{{\sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} }}{{{\theta ^2}}} = 0\) \(\frac{{n\alpha }}{\theta } = \frac{{\sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} }}{{{\theta ^2}}}\) \(\hat \theta = \frac{{\sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} }}{{n\alpha }} = \frac{{\bar x}}{\alpha }\) | |||||||||
| Estimasi nilai \(\theta \) berdasarkan dua kategori A dan B \(\hat \theta = \frac{{\frac{{40,000}}{{120}} + \frac{{110,000}}{{250}}}}{3} = 257.777778\) |
||||||||||
| Karena rata-rata besarnya klaim pada kategori B ialah 1,5 kali dari besar klaim pada ketegori A, maka \(E\left[ {\left. B \right|\hat \theta } \right] = 1.5E\left[ {\left. A \right|\hat \theta } \right]\) \(\frac{{E\left[ {\left. A \right|\hat \theta } \right]}}{{E\left[ {\left. B \right|\hat \theta } \right]}} = \frac{2}{3}\) | ||||||||||
| Estimasi rata-rata besar klaim untuk kategori A \(E\left[ {\left. A \right|\hat \theta } \right] = \frac{2}{5} \cdot \alpha \cdot \hat \theta = \left( {0.4} \right)\left( 3 \right)\left( {257.777778} \right) = 309.333333\) | ||||||||||
| Jawaban | a. Kurang dari 310 |