Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2014 |
| Nomor Soal |
: |
23 |
SOAL
Sebuah survival model didefinisikan sebagai berikut:
\({S_X}\left( x \right) = \frac{{c – x}}{{c + x}}\), untuk \(0 \le x \le c\). Kemudian, sebuah tabel kehidupan
(life table) disusun berdasarkan distribusi tersebut dengan radix 100,000. Dalam tabel tersebut, \({l_{35}} = 44,000\). DIketahui pula \(\omega = 90\). Hitunglah probabilitas dari seorang berusia 10 tahun akan meninggal antara usia 30 dan 45.
- \(\frac{{11}}{{24}}\)
- \(\frac{9}{{24}}\)
- \(\frac{7}{{24}}\)
- \(\frac{5}{{24}}\)
- \(\frac{1}{8}\)
| Diketahui |
- \({S_X}\left( x \right) = \frac{{c – x}}{{c + x}}\), untuk \(0 \le x \le c\).
- Kemudian, sebuah tabel kehidupan (life table) disusun berdasarkan distribusi tersebut dengan radix 100,000. Dalam tabel tersebut, \({l_{35}} = 44,000\). DIketahui pula \(\omega = 90\)
|
| Rumus yang digunakan |
\({S_X}\left( x \right) = {}_x{p_0} = \frac{{{l_x}}}{{{l_0}}}\)
\({}_{\left. t \right|u}{q_x} = {}_t{p_x} \cdot {}_u{q_{x + t}}\)
\({}_t{p_x} = \frac{{S\left( {x + t} \right)}}{{S\left( x \right)}}\) |
| Proses pengerjaan |
\({S_X}\left( {35} \right) = \frac{{c – 35}}{{c + 35}} = \frac{{{l_{35}}}}{{{l_0}}}\)
\(\frac{{44,000}}{{100,000}} = \frac{{c – 35}}{{c + 35}}\)
\(44c + 1,540 = 100c – 3,500\)
\(c = \frac{{5040}}{{56}}\)
\(c = 90\) |
|
\({}_{\left. {20} \right|15}{q_{10}} = {}_{20}{p_{10}} \cdot {}_{15}{q_{30}}\)
\({}_{\left. {20} \right|15}{q_{10}} = \frac{{S\left( {30} \right)}}{{S\left( {10} \right)}} \cdot \left( {1 – \frac{{S\left( {45} \right)}}{{S\left( {30} \right)}}} \right) = \frac{{S\left( {30} \right)}}{{S\left( {10} \right)}} \cdot \left( {\frac{{S\left( {30} \right) – S\left( {45} \right)}}{{S\left( {30} \right)}}} \right)\)
\({}_{\left. {20} \right|15}{q_{10}} = \frac{{S\left( {30} \right) – S\left( {45} \right)}}{{S\left( {10} \right)}}\)
\({}_{\left. {20} \right|15}{q_{10}} = \frac{{\frac{{90 – 30}}{{90 + 30}} – \frac{{90 – 45}}{{90 + 45}}}}{{\frac{{90 – 10}}{{90 + 10}}}}\)
\({}_{\left. {20} \right|15}{q_{10}} = \frac{5}{{24}}\) |
| Jawaban |
d. \(\frac{5}{{24}}\) |
