Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian | : | November 2016 |
| Nomor Soal | : | 20 |
SOAL
Suatu unit “continuously-operating air conditioning” mempunyai “exponential lifetime distribution” dengan nilai rata-rata 4 tahun. Ketika unit rusak, harus diganti dengan biaya 1.000, yang dianggap sebagai satu unit uang. Misalkan \(\bar Z\) adalah nilai sekarang dari variabel acak untuk pembayaran unit saat waktu gagal. Gunakan “effective annual interest rate” dari 5%.
Hitunglah \(Var\left[ {\bar Z} \right]\) (pembulatan terdekat)
- 0,010
- 0,012
- 0,014
- 0,016
- 0,019
| Diketahui | - \(\bar Z \sim \) Eksponensial \(\left( {\mu = \frac{1}{\lambda } = \frac{1}{4}} \right)\)
- \(i = 0.05\)
|
| Rumus | - \(Var\left[ {\bar Z} \right] = E\left[ {{{\bar Z}^2}} \right] – E{\left[ {\bar Z} \right]^2}\)
- \(E\left[ {\bar Z} \right] = \frac{\lambda }{{\delta + \lambda }}\)
- \(E\left[ {{{\bar Z}^2}} \right] = \frac{\lambda }{{2\delta + \lambda }}\)
|
| Step 1 | \(E\left[ {\bar Z} \right] = \frac{\lambda }{{\delta + \lambda }}\)
\(E\left[ {\bar Z} \right] = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\ln (1,05) + \frac{1}{4}}}\)
\(E\left[ {\bar Z} \right] = 0,8367075961\) |
| Step 2 | \(E\left[ {{{\bar Z}^2}} \right] = \frac{\lambda }{{2\delta + \lambda }}\)
\(E\left[ {{{\bar Z}^2}} \right] = \frac{{\frac{1}{4}}}{{2\left( {\ln (1,05)} \right) + \frac{1}{4}}}\)
\(E\left[ {{{\bar Z}^2}} \right] = 0,7192581962\) |
| Step 3 | \(Var\left[ {\bar Z} \right] = E\left[ {{{\bar Z}^2}} \right] – E{\left[ {\bar Z} \right]^2}\)
\(Var\left[ {\bar Z} \right] = \left( {0,7192581962} \right) – {\left( {0,8367075961} \right)^2}\)
\(Var\left[ {\bar Z} \right] = 0,01917859484 \sim 0,019\)
\(Var\left[ {\bar Z} \right] \cong 0,019\) |
| Jawaban | e. \(0,019\) |
