Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
2 |
SOAL
Perusahaan elektronik ingin menawarkan garansi pada system mereka high-end stereo, yang “blaster”, yang akan mencakup hanya “kegagalan” karena cacat pabrik. CFO khawatir tentang biaya garansi ini dan ingin memastikan bahwa klaim atas garansi tersebut terbatas. Anda diberikan:
- Semua “kegagalan” karena cacat semua produsen akan menghasilkan klaim garansi
- Fungsi hazard untuk kegagalan produk cacat pabrik adalah \(\mu = 0,01\)
- Fungsi hazard untuk kegagalan produk karena semua penyebab lainnya dalah \(\mu = 0,02\)
- Garansi harus n tahun, dimana n adalah suatu integer
Berapakah lama garansi terpanjang untuk memastikan bahwa tidak lebih dari 1 dalam 50 sistem “blaster” menghasilkan klaim garansi?
- 1 tahun
- 2 tahun
- 3 tahun
- 4 tahun
- 5 tahun
| Diketahui |
Perusahaan elektronik ingin menawarkan garansi pada system mereka high-end stereo, yang “blaster”, yang akan mencakup hanya “kegagalan” karena cacat pabrik. Anda diberikan:
- Semua “kegagalan” karena cacat semua produsen akan menghasilkan klaim garansi
- Fungsi hazard untuk kegagalan produk cacat pabrik adalah \(\mu = 0,01\)
- Fungsi hazard untuk kegagalan produk karena semua penyebab lainnya dalah \(\mu = 0,02\)
- Garansi harus n tahun, dimana n adalah suatu integer
Dipastikan bahwa tidak lebih dari 1 dalam 50 sistem “blaster” menghasilkan klaim garansi. |
| Rumus yang digunakan |
- \({}_tq_x^{\left( j \right)} = {F_T}\left( t \right) = \int\limits_0^t {{}_sp_x^{\left( \tau \right)}\mu _x^{\left( j \right)}\left( s \right)ds} \)
- \({}_sp_x^{\left( \tau \right)} = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {\mu _x^{\left( \tau \right)}\left( s \right)ds} } \right]\)
- \(\mu _x^{\left( \tau \right)}\left( s \right) = \sum\limits_{j = 1}^m {\mu _x^{\left( j \right)}\left( s \right)} \)
- Untuk \(\mu \) konstan maka \({}_sp_x^{\left( \tau \right)} = \exp \left[ { – t \cdot \sum\limits_{j = 1}^m {\mu _x^{\left( j \right)}\left( s \right)} } \right]\)
|
| Proses pengerjaan |
Dengan menyatakan kegagalan karena cacat pabrik sebagai (1), kita ingin membuat agar ”decrement” dari (1) selama n tahun tidak lebih besar dari \(\frac{1}{{50}}\) atau 0.02. Sehingga
\({}_nq_x^{\left( 1 \right)} = 0.02\)
\(0.02 = \int\limits_0^n {\exp \left[ { – t\left( {\mu _x^{\left( 1 \right)} + \mu _x^{\left( 2 \right)}} \right)} \right] \cdot \mu _x^{\left( 1 \right)}dt} \)
\(0.02 = – \frac{{0.01}}{{0.03}}\left[ {\exp \left( { – 0.03n} \right) – 1} \right]\)
\(0.94 = \exp \left( { – 0.03n} \right)\)
\(n = \frac{{ – \ln \left( {0.94} \right)}}{{0.03}} = 2.0626 \approx 2\) |
| Jawaban |
B. 2 tahun |
