Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2015 |
| Nomor Soal |
: |
12 |
SOAL
Pernyataan dibawah digunakan untuk menjawab soal untuk no 12-15
Suatu model statistik “individual losses” diketahui memiliki distribusi gamma dengan paramater \(\alpha \) = 2 dan \(\theta \) = 100. Banyaknya klaim mengikuti distribusi binomial negatif dengan \(\tau \) = 2 dan \(\beta \) = 1,5. Untuk setiap kerugian, berlaku deduktibel standard (“ordinary deductible“) ialah 50 dan loss limit dari besar klaim sebelum dipotong deduktibel ialah 175.
Hitung rataan (“mean”) dari besar agregat pembayaran klaim “per-loss basis”?
- 251.012
- 215.125
- 215.158
- 259.401
| Diketahui |
“individual losses” diketahui memiliki distribusi gamma dengan paramater:
\(\alpha \) = 2
\(\theta \) = 100
Banyaknya klaim mengikuti distribusi binomial negatif dengan:
\(\tau \) = 2
\(\beta \) = 1,5
Untuk setiap kerugian, berlaku deduktibel standard (“ordinary deductible“) ialah 50 dan loss limit dari besar klaim sebelum dipotong deduktibel ialah 175 |
| Rumus yang digunakan |
- \(E[X \wedge d]{\rm{ }} = \frac{{\theta \Gamma (\alpha + 1)}}{{\Gamma (\alpha )}}\Gamma \left( {\alpha + 1;\frac{d}{\theta }} \right) + d\left[ {1 – \Gamma \left( {\alpha ;\frac{d}{\theta }} \right)} \right]\)
- Nilai rataan dari besar agregat pembayaran klaim “per loss-basis”
\(E[aggregate\_payment]{\rm{ }} = E[{N^L}] \times E[{Y^L}]\)
|
| Proses pengerjaan |
\(E[X \wedge d]{\rm{ }} = \frac{{\theta \Gamma (\alpha + 1)}}{{\Gamma (\alpha )}}\Gamma \left( {\alpha + 1;\frac{d}{\theta }} \right) + d\left[ {1 – \Gamma \left( {\alpha ;\frac{d}{\theta }} \right)} \right]\)
\(E[X \wedge d]{\rm{ }} = \frac{{100\Gamma (3)}}{{\Gamma (2)}}\Gamma \left( {3;\frac{d}{{100}}} \right) + d\left[ {1 – \Gamma \left( {2;\frac{d}{{100}}} \right)} \right]\)
\(E[X \wedge d]{\rm{ }} = 200\Gamma \left( {3;\frac{d}{{100}}} \right) + d\left[ {1 – \Gamma \left( {2;\frac{d}{{100}}} \right)} \right]\)
\(\Gamma \left( {3;\frac{d}{{100}}} \right) = \frac{1}{{\Gamma (3)}}\int\limits_0^{\frac{d}{{100}}} {{t^2}} {e^{ – t}}dt = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{d}{{100}}} {{t^2}} {e^{ – t}}dt\)
\(\Gamma \left( {2;\frac{d}{{100}}} \right) = \frac{1}{{\Gamma (2)}}\int\limits_0^{\frac{d}{{100}}} t {e^{ – t}}dt = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{d}{{100}}} t {e^{ – t}}dt\)
\(\Gamma \left( {3;\frac{{175}}{{100}}} \right) = 0,25603\)
\(\Gamma \left( {2;\frac{{175}}{{100}}} \right) = 0,52212165\)
\(\Gamma \left( {3;\frac{{50}}{{100}}} \right) = 0,0143877\)
\(\Gamma \left( {2;\frac{{50}}{{100}}} \right) = 0,090204\)
\(E[X \wedge 175]{\rm{ }} = 200\Gamma \left( {3;\frac{{175}}{{100}}} \right) + 175\left[ {1 – \Gamma \left( {2;\frac{{175}}{{100}}} \right)} \right] = 134,8347113\)
\(E[X \wedge 50]{\rm{ }} = 200\Gamma \left( {3;\frac{{50}}{{100}}} \right) + 50\left[ {1 – \Gamma \left( {2;\frac{{50}}{{100}}} \right)} \right] = 48,36734\)
Nilai rataan dari besar agregat pembayaran klaim “per loss-basis”
\(E[aggregate\_payment]{\rm{ }} = E[{N^L}] \times E[{Y^L}]\)
\({N^L}\) berdistribusi binomial negatif dengan parameter \(\tau = 2\) , \(\beta = 1,5\) dan \({Y^L}\) berdistribusi gamma
\(E[aggregate\_payment]{\rm{ }} = E[{N^L}] \times E[{Y^L}]\)
\(E[aggregate\_payment]{\rm{ }} = \tau \beta [E[X \wedge m] – E[X \wedge d]]\)
\(E[aggregate{\rm{\_ }}payment]{\rm{ }} = 2(1,{\rm{ }}5)[134,{\rm{ }}8347113 – 48,{\rm{ }}36734] = 259,401\) |
| Jawaban |
d. 259.401 |
