Pembahasan-Soal-Ujian-Profesi-Aktuaris-1024x481 (3)

Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 12 – Juni 2015

by
with no comment
A70 - Pemodelan dan Teori RisikoAktuariaEdukasiPembahasan Ujian Profesi Aktuaris (Persatuan Aktuaris Indonesia / PAI)

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi:Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian:Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian:Juni 2015
Nomor Soal:12

SOAL

Pernyataan dibawah digunakan untuk menjawab soal untuk no 12-15
Suatu model statistik “individual losses” diketahui memiliki distribusi gamma dengan paramater \(\alpha \) = 2 dan \(\theta \) = 100. Banyaknya klaim mengikuti distribusi binomial negatif dengan \(\tau \) = 2 dan \(\beta \) = 1,5. Untuk setiap kerugian, berlaku deduktibel standard (“ordinary deductible“) ialah 50 dan loss limit dari besar klaim sebelum dipotong deduktibel ialah 175.

Hitung rataan (“mean”) dari besar agregat pembayaran klaim “per-loss basis”?

  1. 251.012
  2. 215.125
  3. 215.158
  4. 259.401
[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]
Diketahui“individual losses” diketahui memiliki distribusi gamma dengan paramater:
\(\alpha \) = 2
\(\theta \) = 100

Banyaknya klaim mengikuti distribusi binomial negatif dengan:
\(\tau \) = 2
\(\beta \) = 1,5

Untuk setiap kerugian, berlaku deduktibel standard (“ordinary deductible“) ialah 50 dan loss limit dari besar klaim sebelum dipotong deduktibel ialah 175

Rumus yang digunakan
  • \(E[X \wedge d]{\rm{ }} = \frac{{\theta \Gamma (\alpha + 1)}}{{\Gamma (\alpha )}}\Gamma \left( {\alpha + 1;\frac{d}{\theta }} \right) + d\left[ {1 – \Gamma \left( {\alpha ;\frac{d}{\theta }} \right)} \right]\)
  • Nilai rataan dari besar agregat pembayaran klaim “per loss-basis”
    \(E[aggregate\_payment]{\rm{ }} = E[{N^L}] \times E[{Y^L}]\)
Proses pengerjaan\(E[X \wedge d]{\rm{ }} = \frac{{\theta \Gamma (\alpha + 1)}}{{\Gamma (\alpha )}}\Gamma \left( {\alpha + 1;\frac{d}{\theta }} \right) + d\left[ {1 – \Gamma \left( {\alpha ;\frac{d}{\theta }} \right)} \right]\) \(E[X \wedge d]{\rm{ }} = \frac{{100\Gamma (3)}}{{\Gamma (2)}}\Gamma \left( {3;\frac{d}{{100}}} \right) + d\left[ {1 – \Gamma \left( {2;\frac{d}{{100}}} \right)} \right]\) \(E[X \wedge d]{\rm{ }} = 200\Gamma \left( {3;\frac{d}{{100}}} \right) + d\left[ {1 – \Gamma \left( {2;\frac{d}{{100}}} \right)} \right]\) \(\Gamma \left( {3;\frac{d}{{100}}} \right) = \frac{1}{{\Gamma (3)}}\int\limits_0^{\frac{d}{{100}}} {{t^2}} {e^{ – t}}dt = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{d}{{100}}} {{t^2}} {e^{ – t}}dt\) \(\Gamma \left( {2;\frac{d}{{100}}} \right) = \frac{1}{{\Gamma (2)}}\int\limits_0^{\frac{d}{{100}}} t {e^{ – t}}dt = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{d}{{100}}} t {e^{ – t}}dt\) \(\Gamma \left( {3;\frac{{175}}{{100}}} \right) = 0,25603\) \(\Gamma \left( {2;\frac{{175}}{{100}}} \right) = 0,52212165\) \(\Gamma \left( {3;\frac{{50}}{{100}}} \right) = 0,0143877\) \(\Gamma \left( {2;\frac{{50}}{{100}}} \right) = 0,090204\) \(E[X \wedge 175]{\rm{ }} = 200\Gamma \left( {3;\frac{{175}}{{100}}} \right) + 175\left[ {1 – \Gamma \left( {2;\frac{{175}}{{100}}} \right)} \right] = 134,8347113\) \(E[X \wedge 50]{\rm{ }} = 200\Gamma \left( {3;\frac{{50}}{{100}}} \right) + 50\left[ {1 – \Gamma \left( {2;\frac{{50}}{{100}}} \right)} \right] = 48,36734\)

Nilai rataan dari besar agregat pembayaran klaim “per loss-basis”
\(E[aggregate\_payment]{\rm{ }} = E[{N^L}] \times E[{Y^L}]\) \({N^L}\) berdistribusi binomial negatif dengan parameter \(\tau = 2\) , \(\beta = 1,5\) dan \({Y^L}\) berdistribusi gamma
\(E[aggregate\_payment]{\rm{ }} = E[{N^L}] \times E[{Y^L}]\) \(E[aggregate\_payment]{\rm{ }} = \tau \beta [E[X \wedge m] – E[X \wedge d]]\) \(E[aggregate{\rm{\_ }}payment]{\rm{ }} = 2(1,{\rm{ }}5)[134,{\rm{ }}8347113 – 48,{\rm{ }}36734] = 259,401\)

Jawaban d. 259.401
[/showhide]

Leave A Comment

You must be logged in to post a comment