Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Metoda Statistika |
| Periode Ujian | : | November 2014 |
| Nomor Soal | : | 7 |
SOAL
Distribusi \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{2^{\frac{r}{2}}}\Gamma \left( {\frac{r}{2}} \right)}}{x^{\frac{r}{2} – 1}}{e^{ – \frac{x}{2}}},x > 0\) adalah distribusi Chi-Square dengan r degrees of freedom \(\left( {r > 0} \right)\)
Tentukan \(E\left[ X \right]\) untuk distribusi ini
- \(\frac{1}{2}r\)
- \(\frac{1}{4}r\)
- \(r\)
- \(2r\)
- \(\frac{1}{{r – 2}}\)
| Diketahui | \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{2^{\frac{r}{2}}}\Gamma \left( {\frac{r}{2}} \right)}}{x^{\frac{r}{2} – 1}}{e^{ – \frac{x}{2}}},x > 0\) adalah distribusi Chi-Square dengan r degrees of freedom \(\left( {r > 0} \right)\) |
| Rumus yang digunakan | - Distribusi Gamma: \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{\beta ^\alpha }\Gamma \left( \alpha \right)}}{x^{\alpha – 1}}{e^{ – \frac{x}{\beta }}}\)
- \(\int\limits_0^\infty {\frac{1}{{{\beta ^\alpha }\Gamma \left( \alpha \right)}}{x^{\alpha – 1}}{e^{ – \frac{x}{\beta }}}dx} = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^\infty {{x^{\alpha – 1}}{e^{ – \frac{x}{\beta }}}dx} = {\beta ^\alpha }\Gamma \left( \alpha \right)\)
- Fungsi Gamma: \(\Gamma \left( \alpha \right) = \int\limits_0^\infty {{x^{\alpha – 1}}{e^{ – x}}dx} \) dan \(\Gamma \left( \alpha \right) = \left( {\alpha – 1} \right)!\)
- \(latex E\left[ X \right] = \int\limits_{ – \infty }^\infty {xf\left( x \right)dx} \)
|
| Proses pengerjaan | Kita misalkan \(\alpha = \frac{r}{2}\) dan \(\beta = 2\) sehingga menjadi distribusi gamma, maka |
| Jawaban | C. \(r\) |
