Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2017 |
| Nomor Soal |
: |
5 |
SOAL
Diketahui informasi sebagai berikut:
- \({\mu _{x + t}}\) adalah force of mortality
- \(R = 1 – \exp \left[ { – \int_0^t {{\mu _{x + t}}dt} } \right]\)
- \(S = 1 – \exp \left[ { – \int_0^t {\left( {{\mu _{x + t}} + k} \right)dt} } \right]\)
- \(k\) adalah konstan sedemikian sehingga \(S = 0,75R\)
Tentukan ekspresi untuk \(k\)
- \(\ln \left( {\frac{{1 – 0,75{q_x}}}{{1 – {p_x}}}} \right)\)
- \(\ln \left( {\frac{{1 – 0,75{p_x}}}{{1 – {p_x}}}} \right)\)
- \(\ln \left( {\frac{{1 – {p_x}}}{{1 – 0,75{q_x}}}} \right)\)
- \(\ln \left( {\frac{{1 – {q_x}}}{{1 – 0,75{q_x}}}} \right)\)
- \(\ln \left( {\frac{{1 – 0,75{q_x}}}{{1 – {q_x}}}} \right)\)
| Diketahui |
Diketahui informasi sebagai berikut:
- \({\mu _{x + t}}\) adalah force of mortality
- \(R = 1 – \exp \left[ { – \int_0^t {{\mu _{x + t}}dt} } \right]\)
- \(S = 1 – \exp \left[ { – \int_0^t {\left( {{\mu _{x + t}} + k} \right)dt} } \right]\)
- \(k\) adalah konstan sedemikian sehingga \(S = 0,75R\)
|
| Rumus yang digunakan |
\({}_t{p_x} = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {{\mu _{x + s}}ds} } \right] = \exp \left[ { – \int\limits_x^{x + t} {{\mu _s}ds} } \right]\) |
| Proses pengerjaan |
Jelas \(R = 1 – \exp \left[ { – \int_0^t {{\mu _{x + t}}dt} } \right] = 1 – {p_x} = {q_x}\), dan
\(1 – S = \exp \left[ { – \int_0^t {\left( {{\mu _{x + t}} + k} \right)dt} } \right] = \exp \left[ { – \int_0^t {\left( {{\mu _{x + t}}} \right)dt} } \right]\exp \left[ { – k} \right] = \left( {1 – R} \right)\exp \left[ { – k} \right]\)Dengan menggunakan \(S = 0.75R\)
\(1 – 0.75R = \left( {1 – R} \right)\exp \left[ { – k} \right]\)
\(\exp \left[ { – k} \right] = \frac{{1 – 0.75R}}{{1 – R}}\)
\(k = – \ln \left( {\frac{{1 – 0.75R}}{{1 – R}}} \right)\)
\(k = \ln \left( {\frac{{1 – R}}{{1 – 0.75R}}} \right) = \ln \left( {\frac{{1 – {q_x}}}{{1 – 0.75{q_x}}}} \right)\) |
| Jawaban |
D. \(\ln \left( {\frac{{1 – {q_x}}}{{1 – 0,75{q_x}}}} \right)\) |
