Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2017 |
| Nomor Soal |
: |
4 |
SOAL
Dalam suatu populasi yang pada awalnya terdapat 75% wanita dan 25% pria, diketahui
- untuk wanita, force of mortality adalah konstan dan bernilai \(\mu \)
- untuk pria, force of mortality adalah kontan dan berniali \(1.5\mu \)
- pada akhir tahun ke-20, populasi berubah menjadi 80% wanita dan 20% pria
Hitunglah probabilitas wanita yang suvive pada tahun ke-1
- 0.972
- 0.976
- 0.980
- 0.984
- 0.988
| DIketahui |
Dalam suatu populasi yang pada awalnya terdapat 75% wanita dan 25% pria, diketahui
\(\mu _x^w = \mu \)
\(\mu _x^p = 1.5\mu \)
Pada akhir tahun ke-20, populasi berubah menjadi 80% wanita dan 20% pria |
| Rumus yang digunakan |
\(S_0^{}(t) = \exp ( – \int\limits_0^t {{\rm{ }}\mu ds} )\) |
| Proses pengerjaan |
\(S_{}^w(t) = \exp ( – \int\limits_0^t {{\rm{ }}\mu ds} ) = {e^{( – \mu t)}}\)
\(S_{}^p(t) = \exp ( – \int\limits_0^t {{\rm{ 1}}{\rm{.5}}\mu ds} ) = {e^{( – 1.5\mu t)}}\)
sehingga untuk \(t = 20\)
\(S_{}^w(20) = {e^{( – 20\mu )}}\)
\(S_{}^p(20) = {e^{( – 30\mu )}}\)
misalkan
saat \(t = 0\) terdapat \(X\) laki-laki dan \({\rm{3}}X\) perempuan
saat \(t = 20\) terapat \(\left( {X \cdot {e^{( – 30\mu )}}} \right){\rm{ }}\) laki-laki dan \(\left( {{\rm{3}}X \cdot {e^{( – 20\mu )}}} \right){\rm{ }}\) perempuan.
sehingga diperoleh
\(\frac{{\left( {X \cdot {e^{( – 30\mu )}}} \right){\rm{ }}}}{{\left( {{\rm{3}}X \cdot {e^{( – 20\mu )}}} \right)}} = \frac{{20}}{{80}}\)
\(\Leftrightarrow 80 \cdot {e^{( – 30\mu )}} = 60 \cdot {e^{( – 20\mu )}}\)
\(\Leftrightarrow {e^{( – 10\mu )}} = \frac{{60}}{{80}}\)
\(\Leftrightarrow {e^{( – \mu )}} = {\left( {\frac{{60}}{{80}}} \right)^{\frac{1}{{10}}}}\)
\(\Leftrightarrow {e^{( – \mu )}} = 0.972\)
sehingga probabilitas wanita survive pada tahun ke 1 adalah
\(S_{}^w(1) = {e^{( – \mu )}} = 0.972\) |
| Jawaban |
a. 0.972 |
