Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Waktu penggunaan (“lifetime”) suatu super komputer dengan harga 200 (juta) memiliki distribusi eksponensial dengan rata-rata 2 tahun. Sebuah pabrikan berani memberikan garansi berupa uang tunai setara nilai pembelian apabila komputer yang dibeli rusak pada tahun pertama, dan setengah nilai pembelian barang jika komputer rusak pada tahun kedua. Jika perusahaan menjual 100 komputer, berapa total nilai penggantian (juta) yang sekiranya akan dibayarkan oleh perusahaan tersebut !
- 6.321
- 7.358
- 7.869
- 10.256
- 12.642
[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]
PEMBAHASAN
| Diketahui | X ialah nilai penggantian suatu komputer \(X \sim Eksponensial\,(\theta = 2)\) |
| Step 1 | \(Manfaat\,(x) = \,\left\{ \begin{array}{l} 200\,,\,0 \le t \le 1\\ 100\,,\,\,1 < t \le 2 \end{array} \right.\) \(f(x) = \frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}}\) \(E[X] = \int {x\left( {\frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}}} \right)} dx\) |
| Untuk \(0 \le t \le 1\) \(E[X] = \int\limits_0^1 {200\left( {\frac{1}{2}{e^{ – \frac{x}{2}}}} \right)} dx\) \(E[X] = 100\int\limits_0^1 {{e^{ – \frac{x}{2}}}dx} \) \(E[X] = 100\left( { – 2} \right)\left( {{e^{ – \frac{1}{2}}} – 1} \right)\) \(E[X] \cong 78,6939\) | |
| Untuk \(1 < t \le 2\) \(E[X] = \int\limits_1^2 {100\left( {\frac{1}{2}{e^{ – \frac{x}{2}}}} \right)} dx\) \(E[X] = 100\int\limits_1^2 {{e^{ – \frac{x}{2}}}dx} \) \(E[X] = 50\left( { – 2} \right)\left( {{e^{ – 1}} – {e^{ – \frac{1}{2}}}} \right)\) \(E[X] \cong 23,8651\) | |
| \(E[X] = 78,6939 + 23,8651\) \(E[X] = 102,559\) | |
| Step 2 | Ada 100 unit yang terjual (100X) \(E[100X] = 100E[X]\) \(E[100X] = 100\left( {102,559} \right)\) \(E[100X] = 10.255,9\) \(E[100X] \cong 10.256\) |
| Jawaban | d. 10.256 |
[/showhide]