Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
A20 – Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2018 |
| Nomor Soal |
: |
12 |
SOAL
Misal \(X\) merepresentasikan jumlah pelanggan yang datang selama shift pagi dan \(Y\) merepresentasikan jumlah pelanggan yang datang selama shift sore.
Diberikan
- \(X\) dan \(Y\) berdistribusi Poisson
- Moment pertama dari \(X\) adalah lebih kecil dari moment pertama dari \(Y\) sebesar 8
- Moment kedua dari adalah 60% dari moment kedua dari
Hitunglah variansi dari
- 4
- 12
- 16
- 27
- 35
PEMBAHASAN
| Diketahui |
\(X\) dan \(Y\) poisson \({\rm{ }}(X,Y \sim {\rm{POI(}}\lambda {\rm{)}})\)
\(\bullet {M_x}'(t = 0) = {M_y}'(t = 0) – 8\) atau
\(E(x) = E(y) – 8\)
\({M_x}(t = 0) = {M_y}(t = 0){\rm{ x 0}}{\rm{.6 }}\) atau
\(E({x^2}{\rm{)}} = E({y^2}{\rm{) x 0}}{\rm{.6 }}\) |
| Rumus |
\({M_x}'(t = 0) = E(x) = {\lambda _x}\)
\({M_y}'(t = 0) = E(y) = {\lambda _y}\)
\({M_x}(t = 0) = E({x^2}) = \lambda _x^2 + {\lambda _x}\)
\({M_y}(t = 0) = E({y^2}) = \lambda _y^2 + {\lambda _y}\)
\(Var(y) = E({y^2}) – {(E(y))^2}\) |
| Pembahasan |
Dipunyai
\(E(x) = E(y) – 8{\rm{ }}\)
artinya
\({\lambda _x} = {\lambda _y} – 8{\rm{ }}\) (*)
dan
\(E({x^2}) = E({y^2}{\rm{) x 0}}{\rm{.6 }}\)
subsitusi (*) ke (**), diperoleh
\(E({x^2}) = E({y^2}{\rm{) x 0}}{\rm{.6 }}\)
\(\Leftrightarrow \lambda _y^2 – 16{\lambda _y} + 64 + {\lambda _y} – 8 = (\lambda _y^2 + {\lambda _y}){\rm{x 0}}{\rm{.6}}\)
\(\Leftrightarrow 10\lambda _y^2 – 150{\lambda _y} + 560 = 6\lambda _y^2 + 6{\lambda _y}\)
\(\Leftrightarrow 4\lambda _y^2 – 156{\lambda _y} + 560 = 0\)
\(\Leftrightarrow \lambda _y^2 – 39{\lambda _y} + 140 = 0\)
\(\Leftrightarrow ({\lambda _y} – 35)({\lambda _y} – 4) = 0\)
maka
\({\lambda _y} = 35{\rm{ atau }}{\lambda _y} = 4{\rm{ }}\)
Sehingga
untuk \({\rm{ }}{\lambda _y} = 4\), maka
\({\rm{Var}}(y) = E({y^2}) – {(E(y))^2} = \lambda _y^2 + {\lambda _y} – \lambda _y^2 = {\lambda _y} = 4\)
untuk \({\rm{ }}{\lambda _y} = 35\), maka
\({\rm{Var}}(y) = E({y^2}) – {(E(y))^2} = \lambda _y^2 + {\lambda _y} – \lambda _y^2 = {\lambda _y} = 35\) |
| Jawaban |
A. 4 atau E. 35 |
