Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Misal \(X\) merepresentasikan jumlah pelanggan yang datang selama shift pagi dan \(Y\) merepresentasikan jumlah pelanggan yang datang selama shift sore.
Diberikan
- \(X\) dan \(Y\) berdistribusi Poisson
- Moment pertama dari \(X\) adalah lebih kecil dari moment pertama dari \(Y\) sebesar 8
- Moment kedua dari adalah 60% dari moment kedua dari
Hitunglah variansi dari
- 4
- 12
- 16
- 27
- 35
PEMBAHASAN
| Diketahui | \(X\) dan \(Y\) poisson \({\rm{ }}(X,Y \sim {\rm{POI(}}\lambda {\rm{)}})\)
\(\bullet {M_x}'(t = 0) = {M_y}'(t = 0) – 8\) atau \(E(x) = E(y) – 8\) \({M_x}(t = 0) = {M_y}(t = 0){\rm{ x 0}}{\rm{.6 }}\) atau \(E({x^2}{\rm{)}} = E({y^2}{\rm{) x 0}}{\rm{.6 }}\) |
| Rumus | \({M_x}'(t = 0) = E(x) = {\lambda _x}\) \({M_y}'(t = 0) = E(y) = {\lambda _y}\) \({M_x}(t = 0) = E({x^2}) = \lambda _x^2 + {\lambda _x}\) \({M_y}(t = 0) = E({y^2}) = \lambda _y^2 + {\lambda _y}\) \(Var(y) = E({y^2}) – {(E(y))^2}\) |
| Pembahasan | Dipunyai \(E(x) = E(y) – 8{\rm{ }}\) artinya \({\lambda _x} = {\lambda _y} – 8{\rm{ }}\) (*) dan \(E({x^2}) = E({y^2}{\rm{) x 0}}{\rm{.6 }}\) subsitusi (*) ke (**), diperoleh \(E({x^2}) = E({y^2}{\rm{) x 0}}{\rm{.6 }}\) \(\Leftrightarrow \lambda _y^2 – 16{\lambda _y} + 64 + {\lambda _y} – 8 = (\lambda _y^2 + {\lambda _y}){\rm{x 0}}{\rm{.6}}\) \(\Leftrightarrow 10\lambda _y^2 – 150{\lambda _y} + 560 = 6\lambda _y^2 + 6{\lambda _y}\) \(\Leftrightarrow 4\lambda _y^2 – 156{\lambda _y} + 560 = 0\) \(\Leftrightarrow \lambda _y^2 – 39{\lambda _y} + 140 = 0\) \(\Leftrightarrow ({\lambda _y} – 35)({\lambda _y} – 4) = 0\) maka \({\lambda _y} = 35{\rm{ atau }}{\lambda _y} = 4{\rm{ }}\) Sehingga untuk \({\rm{ }}{\lambda _y} = 4\), maka \({\rm{Var}}(y) = E({y^2}) – {(E(y))^2} = \lambda _y^2 + {\lambda _y} – \lambda _y^2 = {\lambda _y} = 4\) untuk \({\rm{ }}{\lambda _y} = 35\), maka \({\rm{Var}}(y) = E({y^2}) – {(E(y))^2} = \lambda _y^2 + {\lambda _y} – \lambda _y^2 = {\lambda _y} = 35\) |
| Jawaban | A. 4 atau E. 35 |