A20 - Probabilitas dan StatistikaAktuariaEdukasi

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 12 – Mei 2018

By Agus Sofian Eka Hidayat, S.Pd., M.Ed., M.Sc. On Mar 1, 2019 Last updated Mar 6, 2019

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	A20 – Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	Mei 2018
Nomor Soal	:	12

SOAL

Misal \(X\) merepresentasikan jumlah pelanggan yang datang selama shift pagi dan \(Y\) merepresentasikan jumlah pelanggan yang datang selama shift sore.

Diberikan

\(X\) dan \(Y\) berdistribusi Poisson
Moment pertama dari \(X\) adalah lebih kecil dari moment pertama dari \(Y\) sebesar 8
Moment kedua dari adalah 60% dari moment kedua dari

Hitunglah variansi dari

4
12
16
27
35

Kunci Jawaban & Pembahasan

Agus Sofian Eka Hidayat, S.Pd., M.Ed., M.Sc. 99 posts 0 comments

Saat ini saya bekerja sebagai dosen di President University pada Program Studi Aktuaria. Saya merupakan lulusan Magister Matematika minat Aktuaria dari Universitas Gadjah Mada. Selain itu saya juga merupakan lulusan dari Monash University untuk program Master of Education.

Diketahui	\(X\) dan \(Y\) poisson \({\rm{ }}(X,Y \sim {\rm{POI(}}\lambda {\rm{)}})\) \(\bullet {M_x}'(t = 0) = {M_y}'(t = 0) – 8\) atau \(E(x) = E(y) – 8\) \({M_x}(t = 0) = {M_y}(t = 0){\rm{ x 0}}{\rm{.6 }}\) atau \(E({x^2}{\rm{)}} = E({y^2}{\rm{) x 0}}{\rm{.6 }}\)
Rumus	\({M_x}'(t = 0) = E(x) = {\lambda _x}\) \({M_y}'(t = 0) = E(y) = {\lambda _y}\) \({M_x}(t = 0) = E({x^2}) = \lambda _x^2 + {\lambda _x}\) \({M_y}(t = 0) = E({y^2}) = \lambda _y^2 + {\lambda _y}\) \(Var(y) = E({y^2}) – {(E(y))^2}\)
Pembahasan	Dipunyai \(E(x) = E(y) – 8{\rm{ }}\) artinya \({\lambda _x} = {\lambda _y} – 8{\rm{ }}\) () dan \(E({x^2}) = E({y^2}{\rm{) x 0}}{\rm{.6 }}\) subsitusi () ke (**), diperoleh \(E({x^2}) = E({y^2}{\rm{) x 0}}{\rm{.6 }}\) \(\Leftrightarrow \lambda _y^2 – 16{\lambda _y} + 64 + {\lambda _y} – 8 = (\lambda _y^2 + {\lambda _y}){\rm{x 0}}{\rm{.6}}\) \(\Leftrightarrow 10\lambda _y^2 – 150{\lambda _y} + 560 = 6\lambda _y^2 + 6{\lambda _y}\) \(\Leftrightarrow 4\lambda _y^2 – 156{\lambda _y} + 560 = 0\) \(\Leftrightarrow \lambda _y^2 – 39{\lambda _y} + 140 = 0\) \(\Leftrightarrow ({\lambda _y} – 35)({\lambda _y} – 4) = 0\) maka \({\lambda _y} = 35{\rm{ atau }}{\lambda _y} = 4{\rm{ }}\) Sehingga untuk \({\rm{ }}{\lambda _y} = 4\), maka \({\rm{Var}}(y) = E({y^2}) – {(E(y))^2} = \lambda _y^2 + {\lambda _y} – \lambda _y^2 = {\lambda _y} = 4\) untuk \({\rm{ }}{\lambda _y} = 35\), maka \({\rm{Var}}(y) = E({y^2}) – {(E(y))^2} = \lambda _y^2 + {\lambda _y} – \lambda _y^2 = {\lambda _y} = 35\)
Jawaban	A. 4 atau E. 35