Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Keuangan |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2015 |
| Nomor Soal |
: |
6 |
SOAL
Pada tingkat bunga tahunan efektif sebesar \(i\), dimana \(i\) > 0, anuitas berikut memiliki nilai sekarang sebesar \(X\):
- Anuitas segera (Due Annuity) selama 20 tahun dengan pembayaran tahunan sebesar USD 55
- Anuitas segera (Due Annuity) selama 30 tahun dengan pembayaran tahunan sebesar USD 30 untuk 10 tahun pertama, USD 60 untuk sepuluh tahun kedua dan USD 90 untuk sepuluh tahun
Hitunglah berapa nilai dari \(X\)! (pembulatan terdekat)
- USD 575
- USD 585
- USD 595
- USD 605
- USD 615
| Diketahui |
- Anuitas segera (Due Annuity)selama 20 tahun dengan pembayaran tahunan sebesar USD 55 = \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}55{\ddot a_{\left. {\overline {\, {20} \,}}\! \right| }}\)
- Anuitas segera (Due Annuity) selama 30 tahun dengan pembayaran tahunan sebesar USD 30 untuk 10 tahun pertama, USD 60 untuk sepuluh tahun kedua dan USD 90 untuk sepuluh tahun terakhir = \(x{\rm{ }} = {\rm{ 30}}{\ddot a_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }} + 6{\rm{0}}{\ddot a_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }}{v^{10}} + 90{\ddot a_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }}{v^{20}}\)
|
| Rumus yang digunakan |
\(x{\rm{ }} = {\rm{ }}55{\ddot a_{\left. {\overline {\, {20} \,}}\! \right| }} = {\rm{ 30}}{\ddot a_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }} + 6{\rm{0}}{\ddot a_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }}{v^{10}} + 90{\ddot a_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }}{v^{20}}\) |
| Proses pengerjaan |
\(x{\rm{ }} = {\rm{ }}55{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {20} \,}}\! \right| }} = {\rm{ 30}}{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }} + 6{\rm{0}}{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }}{v^{10}} + 90{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }}{v^{20}}\)
\(55{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }} + 55{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }}{v^{10}} = {\rm{ 30}}{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }} + 6{\rm{0}}{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }}{v^{10}} + 90{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {10} \,}}\! \right| }}{v^{20}}\)
\(55 + 55{v^{10}} = {\rm{ 30}} + 6{\rm{0}}{v^{10}} + 90{v^{20}}\)
\(90{v^{20}} + 5{v^{10}} – 25 = 0\)
Misalkan x = \({v^{10}}\)
\(90{x^2} + 5x – 25 = 0\)
\({x_{1,2}} = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {25 – 4(90)( – 25)} }}{{2(90)}}\)
\({x_{1,2}} = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {9025} }}{{180}}\)
\({x_{1,2}} = \frac{{ – 5 \pm 95}}{{180}}\)
Pilih nilai x positif = \(x = \frac{{ – 5 + 95}}{{180}} = \frac{1}{2}\)
\({v^{10}} = \frac{1}{2}\)
\(i = {2^{\frac{1}{{10}}}} – 1 = 0,071773\)
\(x = 55{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, {20} \,}}\! \right| }} = 615,9786 \approx 615\) |
| Jawaban |
e. USD 615 |
