Matematika Keuangan: Discount Rate

Discount rate, dikenal juga sebagai tingkat diskonto, merujuk pada suku bunga yang diterapkan untuk menghitung nilai sekarang (present value) dari arus kas (cash flow) masa depan . Rate ini esensial dalam analisis keuangan dan investasi, sebab membantu dalam penentuan nilai saat ini dari potensi arus kas di masa mendatang.

Penting untuk diketahui, nilai sekarang akan semakin rendah seiring dengan kenaikan discount rate. Ini terjadi karena tingkat diskonto mencerminkan biaya kesempatan atau risiko dari investasi yang bersangkutan. Sementara itu, suku bunga efektif (effective rate of interest) dihitung berdasarkan persentase saldo di awal tahun. Di sisi lain, tingkat diskonto efektif (effective rate of discount) diukur pada akhir tahun.

Effective Rate of Discount (“\({d_n}\)”) didefinisikan sebagai discount rate yang diperoleh selama investasi n-th periode dimana diskon dibayarkan pada awal periode. Serta “\(d\)” didefinisikan sebagai rasio jumlah bunga (jumlah diskon) yang diperoleh selama periode dengan jumlah yang diinvestasikan pada akhir periode.

\({d_n} = \frac{{A\left( n \right) – A\left( {n – 1} \right)}}{{A\left( n \right)}} = \;\frac{{{I_n}}}{{A\left( n \right)}},\;for\;integral\;n \ge 1\)

Misalnya, jika 1 diinvestasikan dan bunga 6% dibayarkan pada akhir tahun, maka nilai akumulasinya adalah 1,06. Sedangkan jika 0,94 diinvestasikan setelah diskon 6% dibayarkan pada awal tahun, maka nilai akumulasi pada akhir tahun adalah 1,00.

Hubungan antara bunga (“\(i\)”) dan diskon (”\(d\)”)

• Jika 1 dipinjam dan bunga dibayarkan pada awal tahun maka tersisa 1 – d
• Nilai akumulasi 1 − d pada akhir tahun adalah 1:

\(\left( {1\; – \;d} \right)\left( {1\; + \;i} \right) = 1\)

• Suku bunga adalah rasio diskon yang dibayarkan terhadap jumlah pada awal periode:

\(i = \frac{{{I_1}}}{{A\left( 0 \right)}} = \frac{d}{{1 – d}}\)

• Tingkat diskonto adalah rasio bunga yang dibayarkan dengan jumlah pada akhir periode:

\(d = \frac{{{I_1}}}{{A\left( 1 \right)}} = \frac{i}{{1 + i}}\)

• Nilai sekarang dari bunga yang dibayarkan pada akhir tahun adalah diskon yang dibayarkan pada awal tahun:

\(iv\; = \;d\)

• Nilai sekarang dari 1 yang harus dibayar pada akhir tahun sama dengan meminjam 1 − d dan membayar 1 pada akhir tahun (jika keduanya memiliki nilai yang sama pada akhir tahun, maka mereka harus memiliki nilai yang sama di awal tahun):

\(1\;\cdot\;v\; = 1\;–\;d\)

• Perbedaan antara bunga yang dibayarkan pada akhir dan pada awal tahun tergantung pada selisih yang dipinjam pada awal tahun dan bunga yang diperoleh dari perbedaannya

\(i\; – \;d\; = \;i\left[ {1\; – \;\left( {1\; – \;d} \right)} \right]\; = \;i\;\cdot\;d\; \ge \;0\)

Discount Function: \({a^{ – 1}}\left( t \right)\)

• Simple discount model, 

\({a^{ – 1}}\left( t \right) = 1\; – \;dt\;for\;0\; \le \;t < \;1/d\)

• Compound discount model,

\({a^{ – 1}}\left( t \right) = {\left( {1\; – \;d} \right)^t} = {v^t}\;\;\;for\;t \ge 0\)

Source: Theory of Interest (Second Edition), 1991, by Kellison, S.G.