Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Metoda Statistika |
| Periode Ujian | : | November 2017 |
| Nomor Soal | : | 9 |
SOAL
Hasil dari suatu studi dalam periode pengamatan tahun kalender 1983 adalah sebagai berikut:
| Individu | Tanggal Lahir | Tanggal Kematian |
| A | 1 April 1922 | 1 Juni 1983 |
| B | 1 Juli 1922 | – |
| C | 1 Oktober 1922 | 1 Maret 1983 |
| D | 1 Januari 1923 | – |
| E | 1 April 1923 | – |
| F | 1 Juli 1923 | 1 Oktober 1983 |
| G | X | – |
- Pada tanggal 1 Januari 1983 semua individu ada dalam studi
- Tidak ada yang keluar dari studi ini selama periode pengamatan selain karena kematian.
- Dengan menggunakan pendekatan actuarial exposure, diperoleh \({\hat q_{60}} = \frac{4}{9}\).
Tentukan nilai \({\hat q_{60}}\) jika dihitung dengan pendekatan exact exposure (asumsi force of mortality adalah konstan).
- 0,315
- 0,468
- 0,559
- 0,631
- 0,689
| Diketahui | Usia \(x = 60\) periode pengamatan tahun kalender 1983| Individu | Tanggal Lahir | Tanggal Kematian | | A | 1 April 1922 | 1 Juni 1983 | | B | 1 Juli 1922 | – | | C | 1 Oktober 1922 | 1 Maret 1983 | | D | 1 Januari 1923 | – | | E | 1 April 1923 | – | | F | 1 Juli 1923 | 1 Oktober 1983 | | G | X | – |
- Pada tanggal 1 Januari 1983 semua individu ada dalam studi
- Tidak ada yang keluar dari studi ini selama periode pengamatan selain karena kematian.
- Dengan menggunakan pendekatan actuarial exposure, diperoleh \({\hat q_{60}} = \frac{4}{9}\).
|
| Rumus yang digunakan | Exact exposure
\(\hat q = 1 – \exp \left( { – \frac{{{d_j}}}{{{e_j}}}} \right)\)
Actuarial exposure
\(\hat q = \frac{{{d_j}}}{{{e_j}}}\)
\({y_i} = \)tanggal awal pengamatan – tanggal lahir
\({z_i} = \)tanggal akhir pengamatan – tanggal lahir
\({\theta _i} = \)tanggal meninggal- tanggal lahir
\({\phi _i} = \)tanggal withdraw-tanggal lahir
\({r_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{y_i} \le x}\\ {{y_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {y_i} < x + 1} \end{array}} \right.\)
\({s_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {z_i} < x + 1}\\ {1\_{\rm{jika\_}}{z_i} \ge x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\iota _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} = 0}\\ {{\theta _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\theta _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\kappa _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} = 0}\\ {{\phi _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\phi _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{eksak}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {{\iota _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{aktuaria}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {1 – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\) |
| Proses pengerjaan | | Tgl Lahir | \({y_i}\) | \({z_i}\) | \({\theta _i}\) | \({\phi _i}\) | \({r_i}\) | \({s_i}\) | \({\iota _i}\) | \({\kappa _i}\) | Eksposure
Aktuaria | Eksposure
Eksak | | 1 Apr 1922 | 60.75 | 61.75 | 61.17 | | 0.75 | 1.00 | | | 0.25 | 0.25 | | 1 Jul 1922 | 60.50 | 61.50 | | | 0.50 | 1.00 | | | 0.50 | 0.50 | | 1 Okt 1922 | 60.25 | 61.25 | 60.41 | | 0.25 | 1.00 | 0.41 | | 0.75 | 0.16 | | 1 Jan 1923 | 60.00 | 61.00 | | | 0.00 | 1.00 | | | 1.00 | 1.00 | | 1 Apr 1923 | 59.75 | 60.75 | | | 0.00 | 0.75 | | | 0.75 | 0.75 | | 1 Jul 1923 | 59.50 | 60.50 | 60.25 | | 0.00 | 0.50 | 0.25 | | 1.00 | 0.25 | | X | y | z | | | 0.00 | s | | | s | s | | Total | 4.25+s | 2,91+s |
Actuarial exposure, karena terdapat 2 kematian pada kolom \({\iota _i}\) maka
\({{\hat q}_{60}} = \frac{2}{{4,25 + s}} = \frac{4}{9}\)
\(18 = 17 + 4s\)
\(s = 0,25\) Exact exposure, karena terdapat 2 kematian pada kolom \({\iota _i}\) maka
\({{\hat q}_{60}} = 1 – \exp \left( { – \frac{2}{{2,91 + 0,25}}} \right)\)
\(= 0,468956\) |
| Jawaban | b. 0,468 |
