Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Misalkan \(X\) adalah variabel acak untuk umur pada saat kematian.
Jika diasumsikan \(X\) mengikuti hukum de Moivre (berdistribusi uniform) dengan \(\omega = 100.\) Hitunglah \({}_{15}{m_{30}}\).
- 0,016
- 0,025
- 0,036
- 0,039
- 0,042
| Diketahui | \(X\) mengikuti hukum de Moivre (berdistribusi uniform) dengan \(\omega = 100.\) |
| Rumus yang digunakan | \(\mu \left( x \right) = \frac{1}{{\omega – x}}\) \(S\left( x \right) = \frac{{\omega – x}}{\omega }\) \({}_n{m_x} = \frac{{\int_0^n {S\left( {x + t} \right)\mu \left( {x + t} \right)dt} }}{{\int_0^n {S\left( {x + t} \right)dt} }}\) |
| Proses pengerjaan | \(\mu \left( x \right) = \frac{1}{{100 – x}}\) dan \(S\left( x \right) = \frac{{100 – x}}{{100}}\) \({}_{15}{m_{30}} = \frac{{\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)\mu \left( {30 + t} \right)dt} }}{{\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)dt} }}\) \(\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)\mu \left( {30 + t} \right)dt} = \int_0^{15} {\frac{{70 – t}}{{100}} \cdot \frac{1}{{70 – t}}dt} \) \(= \int_0^{15} {\frac{1}{{100}}dt} \) \(= \frac{3}{{20}}\) \(\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)dt} = \int_0^{15} {\frac{{70 – t}}{{100}}dt} \) \(= \left. {\frac{{70t – \frac{{{t^2}}}{2}}}{{100}}} \right|_0^{15}\) \(= \frac{{75}}{8}\) \({}_{15}{m_{30}} = \frac{{\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)\mu \left( {30 + t} \right)dt} }}{{\int_0^{15} {S\left( {30 + t} \right)dt} }} = \frac{3}{{20}} \cdot \frac{8}{{75}}\) \(= 0,016\) |
| Jawaban | a. 0,016 |