Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2018 |
| Nomor Soal |
: |
28 |
SOAL
Diketahui future lifetime dari (40) dan (50) saling bebas.
Fungsi survival dari (40) memiliki \(\mu \) yang konstan sebesar 0,05.
Sedangkan fungsi survival dari (50) mengikuti \({l_x} = 100(110 – x)\) untuk \(0 \le x \le 110\).
Tentukan probabilitas (50) meninggal dalam 10 tahun dan meninggal sebelum (40) meninggal.
- 0,1615
- 0,1514
- 0,1413
- 0,1312
- 0,1211
| Diketahui |
Usia 40 memiliki distribusi yang konstan dengan \(\mu = 0,05\)
Usia 50 memiliki fungsi survival \({l_x} = 100(110 – x)\) untuk \(0 \le x \le 110\) |
| Rumus |
\(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) = \int\limits_0^{10} {{}_t{p_{40}}} {}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}}dt\) |
| Step 1 |
\({}_t{p_{40}} = {e^{ – \mu t}}\)
\({}_t{p_{40}} = {e^{ – 0,05t}}\) |
| Step 2 |
\({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = {}_t{p_{50}}\left( {\frac{{ – \frac{d}{{dt}}{}_t{p_{50}}}}{{{}_t{p_{50}}}}} \right)\)
\({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = – \frac{d}{{dt}}{}_t{p_{50}}\)
\({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = – \frac{d}{{dt}}\frac{{{l_{50 + t}}}}{{{l_{50}}}}\)
\({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = – \frac{d}{{dt}}\frac{{(110 – 50 – t)}}{{(110 – 50)}}\)
\({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = – \frac{1}{{60}}( – 1)\)
\({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = \frac{1}{{60}}\) |
| Maka |
\(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) = \int\limits_0^{10} {{e^{ – 0,05t}}} \frac{1}{{60}}dt\)
\(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) = \frac{1}{{60}}\frac{1}{{( – 0,05)}}\left( {{e^{ – 0,05(10)}} – {e^{ – 0,05(0)}}} \right)\)
\(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) = – \frac{1}{3}\left( {{e^{ – 0,5}} – 1} \right)\)
\(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) = 0,1311564468\)
\(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) \cong 0,1312\) |
| Jawaban |
d. 0,1312 |
