Pembahasan Ujian PAI: A60 - No. 28 - November 2018

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Matematika Aktuaria
Periode Ujian	:	November 2018
Nomor Soal	:	28

SOAL

Diketahui future lifetime dari (40) dan (50) saling bebas.
Fungsi survival dari (40) memiliki \(\mu \) yang konstan sebesar 0,05.
Sedangkan fungsi survival dari (50) mengikuti \({l_x} = 100(110 – x)\) untuk \(0 \le x \le 110\).
Tentukan probabilitas (50) meninggal dalam 10 tahun dan meninggal sebelum (40) meninggal.

0,1615
0,1514
0,1413
0,1312
0,1211

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	Usia 40 memiliki distribusi yang konstan dengan \(\mu = 0,05\) Usia 50 memiliki fungsi survival \({l_x} = 100(110 – x)\) untuk \(0 \le x \le 110\)
Rumus	\(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) = \int\limits_0^{10} {{}_t{p_{40}}} {}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}}dt\)
Step 1	\({}_t{p_{40}} = {e^{ – \mu t}}\) \({}_t{p_{40}} = {e^{ – 0,05t}}\)
Step 2	\({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = {}_t{p_{50}}\left( {\frac{{ – \frac{d}{{dt}}{}_t{p_{50}}}}{{{}_t{p_{50}}}}} \right)\) \({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = – \frac{d}{{dt}}{}_t{p_{50}}\) \({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = – \frac{d}{{dt}}\frac{{{l_{50 + t}}}}{{{l_{50}}}}\) \({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = – \frac{d}{{dt}}\frac{{(110 – 50 – t)}}{{(110 – 50)}}\) \({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = – \frac{1}{{60}}( – 1)\) \({}_t{p_{50}}{\mu _{50 + t}} = \frac{1}{{60}}\)
Maka	\(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) = \int\limits_0^{10} {{e^{ – 0,05t}}} \frac{1}{{60}}dt\) \(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) = \frac{1}{{60}}\frac{1}{{( – 0,05)}}\left( {{e^{ – 0,05(10)}} – {e^{ – 0,05(0)}}} \right)\) \(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) = – \frac{1}{3}\left( {{e^{ – 0,5}} – 1} \right)\) \(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) = 0,1311564468\) \(\Pr (0 < {T_{50}} < 10 \cap {T_{50}} < {T_{40}}) \cong 0,1312\)
Jawaban	d. 0,1312

Pembahasan Ujian PAI: A60 – No. 28 – November 2018