Pembahasan Ujian PAI: A10 – No. 02 – Juli 2024

• Fungsi force of interest (tingkat bunga kontinu) investasi A:

$$\delta_{t} = 0{,}01t + 0{,}1 \quad \text{untuk } 0 \leq t \leq 20$$

• Tingkat bunga efektif tahunan investasi B: \(i\)
• Dana awal (\(A_{0}\)): 10 Juta (untuk kedua investasi A dan B)
• Tenor (\(n\)): 20 tahun
• Nilai akumulasi investasi A dan B bernilai sama, yakni:

$$A(20)_{A} = A(20)_{B}$$

$$A(t) = A(0)\,e^{\int_{0}^{t} \delta_{s}\,ds}$$

Nilai akumulasi dana (Future Value atau Accumulated Value) menggunakan tingkat bunga efektif tahunan:

$$A(t) = A(0)(1 + i)^{t}$$

Pertama, akan dicari nilai \(i\). Perhatikan bahwa nilai akumulasi investasi A dan B bernilai sama, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

$$A(20)_{A} = A(20)_{B}$$
$$A(0)_{A}\,e^{\int_{0}^{20} \delta_{s}\,ds} = A(0)_{B}(1 + i)^{20}$$
$$10\,e^{\int_{0}^{20} (0{,}01s + 0{,}1)\,ds} = 10(1 + i)^{20}$$
$$e^{\left[0{,}005s^{2} + 0{,}1s\right]_{0}^{20}} = (1 + i)^{20}$$
$$e^{(2 + 2) – 0} = (1 + i)^{20}$$
$$e^{4} = (1 + i)^{20}$$
$$i = e^{\frac{4}{20}} – 1 = e^{0,2} – 1$$
$$i = 0{,}221403$$

Dengan demikian, nilai akumulasi investasi B pada tahun ke 1,5 dapat dihitung, yakni:

$$A(1{,}5)_{B} = A(0)_{B}(1 + i)^{1,5}$$
$$A(1{,}5)_{B} = 10(1{,}221403)^{1,5}$$
$$A(1{,}5)_{B} = 13{,}498588 \approx 13{,}5 \text{ juta}$$

Jadi, nilai akumulasi dari instrumen investasi B di akhir tahun ke 1,5 sebesar 13,5 juta.