Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
A20 – Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Maret 2016 |
| Nomor Soal |
: |
16 |
SOAL
Waktu penggunaan (“lifetime”) suatu super komputer dengan harga 200 (juta) memiliki distribusi eksponensial dengan rata-rata 2 tahun. Sebuah pabrikan berani memberikan garansi berupa uang tunai setara nilai pembelian apabila komputer yang dibeli rusak pada tahun pertama, dan setengah nilai pembelian barang jika komputer rusak pada tahun kedua. Jika perusahaan menjual 100 komputer, berapa total nilai penggantian (juta) yang sekiranya akan dibayarkan oleh perusahaan tersebut !
- 6.321
- 7.358
- 7.869
- 10.256
- 12.642
PEMBAHASAN
| Diketahui |
X ialah nilai penggantian suatu komputer
\(X \sim Eksponensial\,(\theta = 2)\) |
| Step 1 |
\(Manfaat\,(x) = \,\left\{ \begin{array}{l} 200\,,\,0 \le t \le 1\\ 100\,,\,\,1 < t \le 2 \end{array} \right.\)
\(f(x) = \frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}}\)
\(E[X] = \int {x\left( {\frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}}} \right)} dx\) |
| Untuk \(0 \le t \le 1\)
\(E[X] = \int\limits_0^1 {200\left( {\frac{1}{2}{e^{ – \frac{x}{2}}}} \right)} dx\)
\(E[X] = 100\int\limits_0^1 {{e^{ – \frac{x}{2}}}dx} \)
\(E[X] = 100\left( { – 2} \right)\left( {{e^{ – \frac{1}{2}}} – 1} \right)\)
\(E[X] \cong 78,6939\) |
| Untuk \(1 < t \le 2\)
\(E[X] = \int\limits_1^2 {100\left( {\frac{1}{2}{e^{ – \frac{x}{2}}}} \right)} dx\)
\(E[X] = 100\int\limits_1^2 {{e^{ – \frac{x}{2}}}dx} \)
\(E[X] = 50\left( { – 2} \right)\left( {{e^{ – 1}} – {e^{ – \frac{1}{2}}}} \right)\)
\(E[X] \cong 23,8651\) |
| \(E[X] = 78,6939 + 23,8651\)
\(E[X] = 102,559\) |
| Step 2 |
Ada 100 unit yang terjual (100X)
\(E[100X] = 100E[X]\)
\(E[100X] = 100\left( {102,559} \right)\)
\(E[100X] = 10.255,9\)
\(E[100X] \cong 10.256\) |
| Jawaban |
d. 10.256 |
