Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
26 |
SOAL
Diberikan data sebagai berikut:
- Banyaknya klaim tahunan berdistribusi Poisson dengan mean \(\lambda \).
- Parameter \(\lambda \) memiliki prior distribution dengan fungsi kepadatan peluang
\(f\left( \lambda \right) = \frac{1}{3}\exp \left[ { – \frac{\lambda }{3}} \right]\), \(\lambda > 0\)
- Sebanyak 2 klaim diamati selama tahun pertama.
Hitunglah variansi dari posterior distribution untuk \(\lambda \)
- \(\frac{9}{{16}}\)
- \(\frac{{27}}{{16}}\)
- \(\frac{9}{4}\)
- \(\frac{{16}}{3}\)
- \(\frac{{27}}{4}\)
| Diketahui |
Diberikan data sebagai berikut:
- Banyaknya klaim tahunan berdistribusi Poisson dengan mean \(\lambda \).
- Parameter \(\lambda \) memiliki prior distribution dengan fungsi kepadatan peluang
\(f\left( \lambda \right) = \frac{1}{3}\exp \left[ { – \frac{\lambda }{3}} \right]\), \(\lambda > 0\)
- Sebanyak 2 klaim diamati selama tahun pertama.
|
| Rumus yang digunakan |
- Poisson: \(\Pr \left( {X = x} \right) = \frac{{{\lambda ^x}\exp \left[ { – \lambda } \right]}}{{x!}}\)
- Gamma: \(\frac{{{x^{\alpha – 1}} \cdot \exp \left[ { – \frac{x}{\theta }} \right]}}{{\Gamma \left( \alpha \right){\theta ^\alpha }}}\)
- \(Var\left( X \right) = \alpha {\theta ^2}\)
- \({\pi _{\left. \Theta \right|X}}\left( {\left. \theta \right|x} \right) = {f_{\left. X \right|\Theta }}\left( {\left. x \right|\theta } \right) \cdot {\pi _\Theta }\left( \theta \right)\)
|
| Proses pengerjaan |
Dari 2 klaim yang diamati diperoleh
\(f\left( {\left. {x = 2} \right|\lambda } \right) = \frac{{{\lambda ^2}\exp \left[ { – \lambda } \right]}}{{2!}} \propto {\lambda ^2}\exp \left[ { – \lambda } \right]\) |
|
PDF dari distribusi posterior-nya adalah
\({\pi _{\left. \Theta \right|X}}\left( {\left. \theta \right|x} \right) = {\lambda ^2}\exp \left[ { – \lambda } \right] \cdot \frac{1}{3}\exp \left[ { – \frac{\lambda }{3}} \right] \propto {\lambda ^2}\exp \left[ { – \frac{{4\lambda }}{3}} \right]\) |
|
Dari PDF distribusi posterior kita ketahui bahwa PDF tersebut merupakan distribusi Gamma dengan parameter \(\alpha = 2 + 1 = 3\) dan \(\theta = \frac{3}{4}\) sehingga variansinya adalah \(Var\left( \lambda \right) = \left( 3 \right){\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{27}}{{16}}\) |
| Jawaban |
B. \(\frac{{27}}{{16}}\) |
