Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Agustus 2019 |
| Nomor Soal |
: |
25 |
SOAL
Untuk suatu pertanggungan asuransi perjalanan diri diberikan informasi:
- Besar kerugian dari setiap pemegang polis \(X\) mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata \(\gamma \).
- \(\gamma \) bervariasi untuk setiap pemegang
- \(\gamma \) mengikuti distribusi Pareto tunggal dengan parameter \(\alpha = 1\) dan \(\theta = 1.000\)
Tentukan peluang terjadinya kerugian \(X\) dengan besar lebih kecil dari 500.
- 0,4490
- 0,3490
- 0,9430
- 0,3240
- 0,2131
| Diketahui |
- Besar kerugian dari setiap pemegang polis \(X\) mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata \(\gamma \).
- \(\gamma \) bervariasi untuk setiap pemegang
- \(\gamma \) mengikuti distribusi Pareto tunggal dengan parameter \(\alpha = 1\) dan \(\theta = 1.000\)
|
| Rumus yang digunakan |
Eksponensial: \(F\left( x \right) = 1 – {e^{ – \frac{x}{\theta }}}\)
Single-parameter Pareto: \(f\left( x \right) = \frac{{\alpha {\theta ^\alpha }}}{{{x^{\alpha + 1}}}}\) |
| Proses pengerjaan |
Peluang kondisional kerugian kurang dari 500 bersyarat \(\gamma \) adalah
\(F\left( {\left. {500} \right|\gamma } \right) = 1 – {e^{ – \frac{{500}}{\gamma }}}\) |
|
Maka peluang gabungan dari ekponensial dengan pdf dari Single-parameter Pareto
\(\Pr \left( {X < 500} \right) = \int\limits_{1,000}^\infty {\left( {1 – {e^{ – \frac{{500}}{\gamma }}}} \right)\frac{{1,000}}{{{\gamma ^2}}}d\gamma } \)
\({\Pr \left( {X < 500} \right) = 1,000\int\limits_{\frac{1}{{1,000}}}^0 {\left( { – 1 + {e^{ – 500u}}} \right)du} }\) misal \({u = \frac{1}{\gamma } \Rightarrow du = – \frac{{d\gamma }}{{{\gamma ^2}}}}\)
\(\Pr \left( {X < 500} \right) = \int\limits_{\frac{1}{{1,000}}}^0 { – 1,000du} + \int\limits_{\frac{1}{{1,000}}}^0 {1,000{e^{ – 500u}}du} \)
\({\Pr \left( {X < 500} \right) = 1 + \int\limits_{ – \frac{1}{2}}^0 {1,000\left( { – \frac{{{e^v}}}{{500}}} \right)dv} }\) misal \({v = – 500u \Rightarrow dv = – 500du}\)
\(\Pr \left( {X < 500} \right) = 1 – 2\int\limits_{ – \frac{1}{2}}^0 {{e^v}dv} \)
\(\Pr \left( {X < 500} \right) = 1 – 2 + 2{e^{ – \frac{1}{2}}} = 0.213061\) |
| Jawaban |
e. 0,2131 |
