Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Keuangan |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
8 |
SOAL
Dengan tingkat bunga dan fitur anuitas yang serupa dengan soal no 7, tentukan nilai present value dari prepetuitas jika dibatasi hingga 2000. Bulatkan jawaban terdekat.
- 16832
- 17932
- 19221
- 20901
- 22151
| Diketahui |
Perpetuitas pembayaran sebesar 1000 terhitung satu tahun dari sekarang. Pembayaran berikutnya akan lebih besar 5% hingga 2000.
\(i = 0.09\) |
| Rumus yang digunakan |
Geometri
\({U_n} = a{r^{n – 1}}\)
jumlah deret geometri
\({S_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \frac{{a\left( {1 – {r^n}} \right)}}{{1 – r}}\)
perpetuity
\({a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \frac{1}{i}\)
|
| Proses pengerjaan |
Geometri
\({U_n} = a{r^{n – 1}}\)
\(\Leftrightarrow 2000 = 1000{\left( {1.05} \right)^{n – 1}}\)
\(\Leftrightarrow 2 = {\left( {1.05} \right)^{n – 1}}\)
\(\Leftrightarrow \ln 2 = \left( {n – 1} \right)\ln \left( {1.05} \right)\)
\(\Leftrightarrow n – 1 = \frac{{\ln 2}}{{\ln \left( {1.05} \right)}}\)
\(\Leftrightarrow n = 1 + \frac{{\ln 2}}{{\ln \left( {1.05} \right)}}\)
\(\Leftrightarrow n = 15.2067\)
maka \(n = 15\)
\(PV = Pv + \left( {P(1 + i)} \right){v^2} + \left( {P{{(1 + i)}^2}} \right){v^3} + … + \left( {1000{{(1 + i)}^{14}}} \right){v^{15}} + 2000{v^{16}} + 2000{v^{17}} + …\)
\(PV = Pv + \left( {P(1 + i)} \right){v^2} + \left( {P{{(1 + i)}^2}} \right){v^3} + … + \left( {1000{{(1 + i)}^{14}}} \right){v^{15}} + 2000{v^{15}}(v + {v^2} + …)\)
\(= 1000 \cdot {(1.09)^{ – 1}} + \left( {1000 \cdot (1.05)} \right){(1.09)^{ – 2}} + … + \left( {1000 \cdot {{(1.05)}^{14}}} \right){(1.09)^{ – 15}} + 2000{(1.09)^{ – 15}}(\frac{1}{{0.09}}){\rm{ }}\)
\(= \frac{{\left( {1000 \cdot {{(1.09)}^{ – 1}}} \right)\left( {1 – {{\left( {\left( {1.05} \right){{\left( {1.09} \right)}^{ – 1}}} \right)}^{15}}} \right)}}{{1 – \left( {\left( {1.05} \right){{\left( {1.09} \right)}^{ – 1}}} \right)}} + 2000{(1.09)^{ – 15}}(\frac{1}{{0.09}})\)
\(= 10731.38 + 6100.845\)
\(= 16832.22\) |
| Jawaban |
a. 16832 |
