Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2015 |
| Nomor Soal |
: |
8 |
SOAL
Suatu portofolio klaim memliki fungsi distribusi kumulatif \(F(x) = {\left( {\frac{x}{{100}}} \right)^2}\) . Suatu asuransi akan membayar 80% dari jumlah kerugian klaim tersebut apabila nilai klaim lebih dari standar deduktibel (“ordinary deductible”) sebesar 20. Maksimum nilai pembayaran ialah 60 per klaim. Tentukan nilai ekspetasi dari pembayaran kerugian tersebut, apabila suatu pembayaran telah dibayarkan!
Hint : suatu klaim/kerugian dibayarkan apabila nilai pembayaran klaim tersebut lebih dari deduktibel.
- 21,17
- 23,81
- 38,91
- 39,31
| Diketahui |
Suatu portofolio klaim memliki fungsi distribusi kumulatif \(F(x) = {\left( {\frac{x}{{100}}} \right)^2}\) . Suatu asuransi akan membayar 80% dari jumlah kerugian klaim tersebut apabila nilai klaim lebih dari standar deduktibel (“ordinary deductible”) sebesar 20. Maksimum nilai pembayaran ialah 60 per klaim. |
| Rumus yang digunakan |
- \(E[X \wedge d]{\rm{ }} = \int\limits_0^d {S(x)dx} \)
- \(E[Y \wedge L]{\rm{ }} = \alpha (E[X \wedge m] – E[X \wedge d])\)
- \(E[{Y^P}] = \frac{{E[{Y^L}]}}{{S(d)}}\)
|
| Proses pengerjaan |
\(F(x) = {\left( {\frac{x}{{100}}} \right)^2}\) maka diperoleh \(S(x) = 1 – {\left( {\frac{x}{{100}}} \right)^2}\)
\(E[X \wedge d] = \int\limits_0^d {S(x)dx} = \int\limits_0^d {1 – {{\left( {\frac{x}{{100}}} \right)}^2}dx} = d – \left( {\frac{{{d^3}}}{{30000}}} \right)\)
Berdasarkan informasi pada soal, kita juga dapatkan nilai deductibel = 20, maksimum pembayaran 60, dan coinsurance \(\alpha = 0,8\)
Selanjutnya, kita akan mencari nilai maksimum yang memuat deductible.
\(60 = \alpha (m – d) = 0,8(m – 20)\)
\(m = 95\)
\(E[X \wedge m] = E[X \wedge 95] = 95 – \frac{{{{95}^3}}}{{30.000}} = 66,42083\)
\(E[X \wedge d] = E[X \wedge 20] = 20 – \frac{{{{20}^3}}}{{30.000}} = 19,73333\)
Berikutnya kita akan menghitung nilai ekspetasi dari kerugian, yaitu \(E[{Y^L}]\) , serta nilai ekspetasi dari pembayaran kerugian tersebut, yaitu \(E[{Y^P}]\)
\(E[Y \wedge L]{\rm{ }} = \alpha (E[X \wedge m] – E[X \wedge d]){\rm{ }} = 0,{\rm{ }}8(66,{\rm{ }}42083 – 19,{\rm{ }}73333){\rm{ }} = 37,35\)
\(E[{Y^P}] = \frac{{E[{Y^L}]}}{{S(d)}} = \frac{{E[{Y^L}]}}{{S(20)}} = \frac{{37,35}}{{0,96}} = 38,91\)
Nilai ekspetasi dari pembayaran kerugian tersebut, apabila suatu pembayaran telah dibayarkan adalah sebesar 38,91 |
| Jawaban |
c. 38,91 |
