Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian | : | November 2017 |
| Nomor Soal | : | 6 |
SOAL
Diberikan data berikut:
- Kerugian mengikuti sebuah distribusi lognormal dengan parameter \(\mu = 7\) dan \(\sigma = 2\).
- Terdapat deductible sebesar 2.000.
- Sebanyak 10 kerugian diharapkan terjadi pada setiap tahun.
- Banyaknya klaim kerugian dan besarnya kerugian individu adalah saling bebas (independent)
Hitunglah Loss Elimination Ratio terhadap penggunaan deductible tersebut.
- kurang dari 0,10
- paling sedikit 0,10 akan tetapi kurang dari 0,15
- paling sedikit 0,15 akan tetapi kurang dari 0,20
- paling sedikit 0,20 akan tetapi kurang dari 0,25
- paling sedikit 0,25
| Diketahui | - \(X\) ialah besarnya kerugian
\(X \sim Lognormal(\mu = 7,\sigma = 2)\) - Deductible (d) = 2.000
|
| Rumus yang digunakan | - Distribusi Lognormal
\(E[{X^k}] = exp(k\mu + \frac{1}{2}{k^2}{\sigma ^2})\)
\(E[{(X \wedge x)^k}] = \exp (k\mu + \frac{1}{2}{k^2}{\sigma ^2})\Phi \left( {\frac{{\ln x – \mu – k{\sigma ^2}}}{\sigma }} \right) + {x^k}[1 – F(x)]\)
\(F(x) = \Phi \left( {\frac{{\ln x – \mu }}{\sigma }} \right)\) - \(LER = \frac{{E[X \wedge d]}}{{E[X]}}\)
|
| Proses pengerjaan | - Mencari \(E[X]\)
\(E[X] = \exp (7 + \frac{1}{2}{2^2})\)
\(E[X] = 8.103,08\)
- Mencari \(F(2.000)\)
\(F(2.000) = \Phi \left( {\frac{{\ln 2.000 – 7}}{2}} \right)\)
\(F(2.000) = \Phi \left( {0,3} \right)\)
\(F(2.000) = 0,6179\)
- Mencari \(E[X \wedge 2.000]\)
\(E[X \wedge 2.000] = \exp (7 + \frac{1}{2}{2^2})\Phi \left( {\frac{{\ln 2.000 – 7 – {2^2}}}{2}} \right) + 2.000[1 – 0,6179]\)
\(E[X \wedge 2.000] = \exp (9)\Phi \left( { – 1,7} \right) + 764,2\)
\(E[X \wedge 2.000] = \exp (9)\left( {1 – \Phi \left( {1,7} \right)} \right) + 764,2\)
\(E[X \wedge 2.000] = (8.103,08)0,0446 + 764,2\)
\(E[X \wedge 2.000] = 1.125,59\)
- Mencari LER
\(LER = \frac{{1.125,59}}{{8.103,08}}\)
\(LER = 0,1389\) Paling sedikit 0,10 akan tetapi kurang dari 0,15 |
| Jawaban | b. paling sedikit 0,10 akan tetapi kurang dari 0,15 |
